XXVIII - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Wewnątrz czworościanu $ABCD$ obrano punkt $M$ , przy czym okazało się, że dla każdego z czworościanów $ABCM$ $ABDM$ , $ACDM$ , $BCDM$ istnieje sfera styczna do wszystkich jego krawędzi. Udowodnić, że istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ABCD$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy następujące twierdzenie, które było dane jako zadanie 4 na zawodach VI Olimpiady Matematycznej.

Twierdzenie. Istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $PQRS$ wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe, tzn. gdy

$ PQ + RS = PR + QS = PS + QR. $

Stosując to twierdzenie do czworościanów $ABCM$ , $ACDM$ i $BCDM$ otrzymujemy w szczególności

$ AB + CM = BC + AM = BM + AC, $

$ CD + AM = CM + AD, \quad CD + BM = CM + BD. $

Wobec tego

$ AB + CD - AC - BD = (AB + CM) + (CD + BM) - (AC + BM) - (BD + CM) = 0, $

czyli

$ AB + CD = AC + + BD, $

i analogicznie

$ AB + CD - BC - AD = (AB + CM) + (CD + AM)- (BC + AM) - (AD + CM) = 0, $

czyli

$ AB + CD = BC + AD. $

Dowiedliśmy więc, że

$ AB + CD = AC + BD = BC + AD. $

Zatem na podstawie przytoczonego wyżej twierdzenia istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ABCD$ .

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ABDM$ . Rozumując podobnie można więc udowodnić, że jeżeli dla każdego z pewnych trzech spośród czterech czworościanów $ABCM$ , $ABDM$ , $ACDM$ , $BCDM$ istnieje sfera styczna do wszystkich jego krawędzi, to istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ABCD$ .