XXVIII - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Dowieść, że jeżeli $P(x, y)$ jest takim wielomianem dwóch zmiennych, że $P(x, y) = P(y, x)$ dla wszystkich $x, y$ rzeczywistych oraz wielomian $(x-y)$ dzieli $P(x, y)$ , to wielomian $(x - y)^2$ także dzieli $P(x, y)$ .

Rozwiązanie

Z założenia istnieje taki wielomian $Q(x, y)$ , że $P(x,y) = (x - y) \cdot Q(x, y$ ). Wobec tego z równości $P(x, y) = P(y, x)$ otrzymujemy, że $(x - y) \cdot Q(x, y) = (y - x) \cdot Q(y, x)$ , czyli $(x - y) \cdot (Q(x, y) + Q(y, x)) = 0$ . Ponieważ iloczyn wielomianów jest wielomianem zerowym tylko, gdy jeden z czynników jest wielomianem zerowym, a wielomian $x - y$ jest niezerowy, więc z ostatniej równości wynika, że $Q(x, y) + Q(y, x) = 0$ . Dokonując tu podstawienia $x = y$ otrzymujemy w szczególności, że $Q(y, y) = 0$ , tzn. $Q(y, y)$ jest wielomianem zerowym.

Traktując wielomiany $Q(x, y)$ i $x - y$ jako wielomiany zmiennej $x$ o współczynnikach będących wielomianami zmiennej $y$ dzielimy $Q (x, y)$ przez $x - y$ . Otrzymujemy pewien iloraz $U (x, y)$ i resztę $R (y)$ niezależną od $x$ . Z algorytmu dzielenia wynika, że $U (x, y)$ i $R (y)$ są wielomianami zmiennych $x$ , $y$ oraz $y$ odpowiednio. Mamy więc $Q(x, y) = (x - y) \cdot U(x, y) + R(y)$ . Podstawiając tu $x=y$ otrzymujemy $Q(y, y) = R(y)$ . Z drugiej strony, dowiedliśmy, że $Q(y, y) = 0$ . Wobec tego $R(y) = 0$ , czyli $Q(x, y) = (x - y) \cdot U(x, y)$ i stąd $P(x, y) = (x - y)^2 \cdot U(x, y)$ .