XXVIII - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Obliczyć

$ \lim_{n\to \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdot \ldots \cdot \frac{n^3-1}{n^3+1}. $

Rozwiązanie

Wyraz o numerze $n$ ciągu, którego granicę mamy obliczyć, jest iloczynem ułamków postaci

$ \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1}.\ \textrm{gdzie} \ k = 2, 3, \ldots, n. $

Mamy rozkłady $k^3 - 1 = (k - 1) (k^2 + k + 1)$ oraz $k^3 + 1 = (k+ 1)(k^2 - k + 1)$ . Ponieważ $(k + 1)^2 - (k + 1) + 1 = k^2+2k+1$ , więc czynnik $k^2 + k + 1$ występujący w liczniku ułamka $\displaystyle \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1}$
skróci się z czynnikiem $(k+1)^2-(k+1)+1$ występującym w mianowniku następnego ułamka, tzn. ułamka $\displaystyle \frac{(k + 1)^3-1}{(k+1)^3 + 1}$ . Również czynnik $k + 1$ występujący w mianowniku ułamka $\displaystyle \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1}$ skróci się z czynnikiem $(k + 2) - 1 = k + 1$ występującym w liczniku ułamka o numerze o $2$ większym, tzn. ułamka $\displaystyle \frac{(k+2)^3 - 1}{(k+2)^3 + 1}$ .

Wobec tego pozostaną nieskrócone w liczniku tylko czynniki $k - 1$ pochodzące z pierwszych dwóch ułamków i czynnik $k^2 + k + 1$ pochodzący z ostatniego ułamka; w mianowniku zaś pozostanie nieskrócony tylko czynnik $k^2 - k + 1$ pochodzący z pierwszego ułamka i czynniki $k + 1$ pochodzące z dwóch ostatnich ułamków. Mamy więc

$ \begin{split} \frac{2^3 - 1}{2^3 + 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3^3 + 1} \ldots \frac{n^3 - 1}{n^3 + 1} &= \frac{(2-1)(3-1)(n^2+n+1)}{(2^2-2+1)((n-1)+1))(n+1)} =\\ &=\frac{2(n^2+n+1)}{3(n^2+n)} = \frac{2}{3} \left( 1 + \frac{1}{n^2+n} \right). \end{split} $

Ponieważ ciąg $\left( \frac{1}{n^2 + n} \right)$ jest zbieżny do zera, więc z powyższego wynika, że granica, którą należało obliczyć w zadaniu, jest równa $\displaystyle \frac{2}{3}$ .