XXVIII - I - Zadanie 7

Trzy koła o promieniach równych 1 przecinają się tak, że ich część wspólna jest ograniczona trzema łukami, z których każdy należy do innego koła. Końce tych łuków oznaczmy przez . Pierwszy okrąg przecina drugi w punktach i , drugi przecina trzeci w punktach i , a trzeci przecina pierwszy w punktach i .
Udowodnić, że suma długości łuków równa się .

Rozwiązanie

Jeżeli dwa okręgi o równych promieniach przecinają się w punktach i , to długości łuków wyznaczonych przez te punkty na jednym okręgu są równe długościom odpowiednich łuków wyznaczonych przez te punkty na drugim okręgu. Dokonując bowiem symetrii względem prostej łuki o końcach i na jednym okręgu przekształcamy na odpowiednie łuki o końcach i na drugim okręgu.

Wynikają stąd następujące równości długości łuków okręgów danych w zadaniu (rys. 5):

Dodając te równości stronami stwierdzamy, że

Miara kąta wpisanego w okrąg jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. W okręgu o promieniu długości miara kąta środkowego wyrażona w radianach jest równa długości łuku, na którym ten kąt jest oparty. Wobec tego

i analogicznie

Ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa , więc dodając te równości stronami otrzymujemy na mocy (1)