Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXVIII - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

I

Funkcja $f$ określona na zbiorze wszystkich liczb całkowitych przyjmuje tylko wartości dodatnie i spełnia warunek:

$<br /> f(n) \geq \frac{1}{2}(f(n-1)+f(n+1))\quad \text{ dla } n = 0, 1, -1, 2, -2, \ldots<br />$

Dowieść, że funkcja $f$ jest stała.

Rozwiązanie

Niech $g(n) =f(n + 1) - f(n)$ dla każdej liczby całkowitej $n$ . Wtedy z warunków zadania otrzymujemy, że $f(n+1) - f(n) \leq f(n) - f(n - 1)$ czyli $g(n) \leq<br /> g(n - 1)$ . Wynika stąd, że funkcja $g$ jest nierosnąca. Wobec tego dla każdej liczby naturalnej $k$ mamy $g(n + k) \leq g(n) \leq g(n- k)$ , czyli

$<br /> (1) \qquad f(n + k + 1) -f(n + k) \leq g(n) \leq f(n - k + 1) - f(n-k).<br />$

Dodając stronami nierówności (1) dla $k = 1, 2, \ldots, m$ , gdzie $m$ jest dowolną liczbą naturalną, otrzymujemy

$<br /> (2) \qquad f(n + m + 1) - f(n + 1) \leq mg(n) \leq f(n) - f(n - m).<br />$

Ponieważ funkcja $f$ przybiera tylko wartości dodatnie, więc z (2) wynika, że $-f (n+1) \leq mg(n) \leq f(n)$ , czyli

$<br /> (3) \qquad -\frac{1}{m} f(n+ 1) \leq g(n) \leq \frac{1}{m} f(n)\ \textrm{dla}\ m=1,2, \ldots.<br />$

Przechodząc w (3) do granicy, gdy $m \to \infty$ , otrzymujemy, że $g(n) = 0$ , tzn. $f(n + 1) = f(n)$ . Wynika stąd, że funkcja $f$ jest stała.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1028