XXVIII - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Udowodnić, że w każdym czworościanie istnieje wierzchołek, przy którym trzy kąty płaskie są ostre.

Rozwiązanie

Suma miar kątów płaskich dowolnej ściany czworościanu jest równa $\pi$ . Wobec tego suma miar wszystkich kątów płaskich czworościanu jest równa $4\pi$ . Wynika stąd, że istnieje taki wierzchołek $A$ czworościanu, że suma miar kątów płaskich przy tym wierzchołku nie przekracza $\pi$ .

Z drugiej strony wiadomo (patrz rozwiązanie zadania 17(5) z XXIV Olimpiady Matematycznej), że suma miar dwóch kątów płaskich przy wierzchołku czworościanu jest większa od miary trzeciego kąta płaskiego przy tym wierzchołku. Jeżeli więc jeden z kątów płaskich przy wierzchołku czworościanu jest nieostry, to suma miar wszystkich kątów płaskich przy tym wierzchołku jest większa od $\pi$ .

Z powyższego wynika, że wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku $A$ są ostre.