LVIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Wykazać, że jeżeli liczby $a,b,c$ są dodatnie, to

$ {1\over a+ab+abc}+{1\over b+bc+bca}+{1\over c+ca+cab}\leq {1\over3\root{\scriptstyle3}\of{abc}} \Bigl({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\Bigr)\,. $

Rozwiązanie

Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną otrzymujemy

$ a+ab+abc\ge 3\root{\scriptstyle3}\of{a\cdot ab\cdot abc} =3\root{\scriptstyle3}\of{abc}\root{\scriptstyle3}\of {a^2b} $

i analogicznie $b+bc+bca\ge3\root{\scriptstyle3}\of{abc} \root{\scriptstyle3}\of{b^2c}$ oraz $c+ca+cab\ge 3\root{\scriptstyle3}\of{abc}\root{\scriptstyle3}\of {c^2a}$ . Stąd wynika, że

${1\over a+ab+abc}+{1\over b+bc+bca}+{1\over c+ca+cab}\leq {1\over3\root{\scriptstyle3}\of{abc}}\Bigl( {1\over\root{\scriptstyle3}\of{a^2b}}+ {1\over\root{\scriptstyle3}\of{b^2c}}+ {1\over\root{\scriptstyle3}\of{c^2a}}\Bigr). $

Zatem zadanie będzie rozwiązane, jeżeli wykażemy nierówność

$ {1\over\root{\scriptstyle3}\of{a^2b}}+ {1\over\root{\scriptstyle3}\of{b^2c}}+ {1\over\root{\scriptstyle3}\of{c^2a}}\le {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}. $

Wprowadzając oznaczenia $x=1/\root{\scriptstyle3}\of{a}$ , $y=1/\root{\scriptstyle3}\of{b}$ , $z=1/\root{\scriptstyle3}\of{c}$ zapisujemy powyższą nierówność w postaci

$ x^2y+y^2z+z^2x\le x^3+y^3+z^3, $

a ta nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności między średnimi, gdyż

$ \begin{split} x^2y+y^2z+z^2x &= \root{\scriptstyle3}\of{x^3\cdot x^3\cdot y^3} + \root{\scriptstyle3}\of{y^3\cdot y^3\cdot z^3} + \root{\scriptstyle3}\of{\vphantom{y^3}z^3\cdot z^3\cdot x^3}\le \\ &\le {x^3+x^3+y^3\over 3} + {y^3+y^3+z^3\over 3} + {z^3+z^3+x^3\over 3}=x^3+y^3+z^3. \end{split} $