XXVIII - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Spośród liczb $1, 2, \ldots, n$ wybieramy jedną, przy czym wybór każdej z nich jest jednakowo prawdopodobny. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem takiego zdarzenia,, że w zapisie dziesiętnym wybranej liczby występują wszystkie cyfry: $0, 1, \ldots, 9$ . Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .

Rozwiązanie

Niech liczba $n$ ma $k$ cyfr w zapisie dziesiętnym, tzn. niech $10^{k-1} \leq n < 10^k$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną. Wtedy każda z liczb $1, 2, \ldots, n$ ma nie więcej niż $k$ cyfr. Oszacujemy z góry liczbę $A_0$ takich liczb o co najwyżej $k$ cyfrach, które w zapisie dziesiętnym nie mają cyfry $0$ .

Liczba liczb $r$ -cyfrowych, których zapis dziesiętny nie zawiera cyfry $0$ , równa jest $9^r$ , ponieważ każda z $r$ cyfr takiej liczby należy do zbioru dziewięcioelementowego $\{1, 2, \ldots, 9\}$ . Wobec tego

$ A_0 = 9 + 9^2+ \ldots + 9^k = 9 \frac{9^k-1}{9-1} < 9^{k+1}. $

Analogicznie stwierdzamy, że dla $i = 1, 2, \ldots, 9$ liczba $A_i$ liczb o co najwyżej $k$ cyfrach, które w zapisie dziesiętnym nie mają cyfry $i$ , spełnia nierówność $A_i < 9^{k+1}$ .

Wynika stąd, że liczba $A$ takich liczb naturalnych spośród $1, 2, \ldots,n$ , które w zapisie dziesiętnym nie zawierają co najmniej jednej z cyfr $0, 1, 2, \ldots, 9$ , spełnia nierówność

$ A \leq A_0 + A_1 + \ldots + A_9 < 10 \cdot 9^{k+1}. $

Wobec tego liczba $B_n$ takich liczb spośród $1, 2, \ldots, n$ że w ich zapisie dziesiętnym występują wszystkie cyfry $0, 1, 2, \ldots, 9$ , spełnia

$ \begin{split} B_n &= n - A > n - 10 \cdot 9^{k+1} = n \left( 1 - \frac{10 \cdot 9^{k+1}}{n} \right) \geq n \left( 1 - \frac{10 \cdot 9^{k+1}}{10^{k-1}} \right) =\\ &=n \left( 1 - 900 \cdot \left( \frac{9}{10} \right)^k \right). \end{split} $

Zatem

$ (1) \qquad 1 \geq p_n = \frac{B_n}{n} > 1 - 900 \left( \frac{9}{10} \right)^k. $

Jeżeli $n$ dąży do nieskończoności, to również $k$ dąży do nieskończoności. Ponieważ dla każdej liczby $q$ z przedziału $(-1; 1)$ mamy $\displaystyle \lim_{k \to \infty} q^k = 0$ , więc w szczególności $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left( \frac{9}{10} \right)^k = 0$ . Wobec tego z (1) na podstawie twierdzenia o trzech ciągach wynika, że $\lim_{n \to \infty} p_n = 1$ .