XXVIII - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Rozstrzygnąć, w którym z wielomianów $(1 - 9x + 7x^2 - 6x^3)^{1976}$ , $(1 + 9x - 7x^2 + 6x^3)^{1976}$ współczynnik przy $x^{1976}$ jest większy.

Rozwiązanie

Jednomian stopnia 1976 w pierwszym wielomianie jest sumą pewnej liczby iloczynów postaci

$<br /> (1) \qquad (-9x)^a (7x^2)^b (-6x^3)^c = (-1)^{a+c} 9^a 7^b 6^c x^{a+2b+3c},<br />$

gdzie $a, b, c \geq 0$ i $a + 2b + 3c = 1976$ . Z ostatniej równości wynika, że $a + c = 1976 - 2b - 2c$ jest liczbą parzystą. Wobec tego każdy z jednomianów (1) ma współczynnik dodatni.

Jednomian stopnia 1976 w drugim wielomianie jest sumą pewnej liczby iloczynów postaci

$<br /> (2) \qquad (9x)^a (-7x^2)^b (6x^3)^c = (-1)^b 9^a 7^b 6^c x^{a+2b+3c},<br />$

gdzie $a,b,c \geq 0$ i $a + 2b + 3c= 1976$ . Przy tym każdemu składnikowi postaci (1) w pierwszym wielomianie odpowiada składnik postaci (2) w drugim wielomianie i na odwrót. Widzimy, że odpowiadające sobie składniki (1) i (2) różnią się co najwyżej znakiem. Wszystkie jednomiany (1) mają współczynniki dodatnie, a pewne jednomiany (2) mają współczynniki ujemne (na przykład przy $a = 1974$ , $b = 1$ , $c = 0$ współczynnik jednomianu (2) jest ujemny).

Wobec tego w pierwszym z rozważanych wielomianów współczynnik przy $x^{1976}$ jest większy niż w drugim.