XXVIII - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Niech $a$ i $b$ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $c_1, c_2, \ldots,c_n$ istnieje ciąg $n$ -ele-mentowy $(x_i)$ , którego każdy wyraz równy jest jednej z liczb $a$ lub $b$ taki, że

$ |x_1c_1 + x_2c_2 + \ldots + x_nc_n| \geq \frac{|b-a|}{2}(|c_1|+|c_2|+\ldots+|c_n|). $

Rozwiązanie

Niech

$ (1) \qquad \begin{array}{l} D = a \sum_{c_i < 0} c_i + b \sum_{c_i \geq 0} c_i,\\ E = a \sum_{c_i \geq 0} c_i + b \sum_{c_i < 0} c_i. \end{array} $

Mamy

$ D - E = (b-a) \left( \sum_{c_i \geq 0} c_i - \sum_{c_i < 0} c_i \right) = (b-a) \sum_{i=1}^n |c_i|. $

Wobec tego

$ (2) \qquad |b - a| \sum_{i=1}^n |c_i| = |D - E| \leq |D| + |E| \leq 2 \max(|D|, |E|). $

Niech na przykład $|D| \leq |E|$ . Jeżeli zachodzi nierówność przeciwna, to rozumowanie przebiega podobnie. Mamy więc $\max(|D|, |E|) = |E|$ i wobec tego z (2) wynika, że $|E| \geq \displaystyle \frac{|b-a|}{2} \sum_{i=1}^n |c_i|$ . Zatem na mocy (1) wystarczy przyjąć

$ x_i = \left\{ \begin{array}{cl} a, \textrm{jeżeli} \ c_i \geq 0, \\ b, \textrm{jeżeli} \ c_i < 0. \end{array} \right. $