XXVIII - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

W kapeluszu znajduje się 7 kartek. Na $n$ -tej kartce napisana jest liczba $2^n-1$ ( $n = 1, 2, \ldots, 7$ ). Wyciągamy losowo kartki aż do momentu, kiedy suma przekroczy 124. Jaka wartość tej sumy jest najbardziej prawdopodobna?

Rozwiązanie

Suma liczb $2^0, 2^1, \ldots, 2^6$ jest równa $127$ . Suma dowolnych pięciu spośród tych liczb nie przekracza $2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 124$ . Wobec tego z kapelusza musimy wyciągnąć co najmniej sześć kartek.

Każde ze zdarzeń polegających na tym, że wyciągnęliśmy z kapelusza sześć kartek, a w kapeluszu pozostała siódma z numerem $2^{n-1}$ ( $n = 1, 2, \ldots, 7$ ) jest jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest więc równe $\displaystyle \frac{1}{7}$ .

Suma liczb na wyciągniętych kartkach jest równa $127 - 2^{n-1}$ . Jeżeli $n = 1$ , to ta suma jest równa $126$ ; jeżeli $n = 2$ , to jest ona równa $125$ ; jeżeli zaś $n= 3, 4, 5, 6$ lub $7$ , to suma ta jest mniejsza od $124$ i musimy wyciągnąć siódmą kartkę. W tym ostatnim przypadku suma liczb na wszystkich wyciągniętych kartkach będzie równa $127$ . Zatem prawdopodobieństwo, tego że suma liczb na wszystkich kartkach wyciągniętych zgodnie z warunkami zadania wynosi odpowiednio $125$ , $126$ , $127$ , jest równe $\displaystyle \frac{1}{7}$ , $\displaystyle \frac{1}{7}$ , $\displaystyle \frac{5}{7}$ .

Wobec tego najbardziej prawdopodobną wartością sumy jest $127$ .