XXVIII - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Niech wielomiany $w_n$ będą określone wzorami:

$ w_1(x) = x^2 - 1, \quad w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1, \quad (n = 1, 2, \ldots) $

i niech $a$ będzie liczbą rzeczywistą. Ile różnych rozwiązań rzeczywistych ma równanie $w_n(x) = a$ ?

Rozwiązanie

\spos{1} Niech $r_n(a)$ będzie liczbą różnych rozwiązań rzeczywistych równania $w_n (x) = a$ . Udowodnimy przez indukcję ze względu na $n$ , że

$ (1) \qquad r_n(a) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \textrm{jeżeli} a < - 1,\\ n, & \textrm{jeżeli} a = - 1,\\ 2n, & \textrm{jeżeli} -1 < a < 0,\\ n+1, & \textrm{jeżeli} a = 0,\\ 2, & \textrm{jeżeli} a > 0. \end{array} \right. $

Sprawdzamy prawdziwość wzoru (1) dla $n = 1$ . Równanie $w_1(x)= a$ ma postać $x^2 = 1 + a.$ Ma ono $0$ , $1$ lub $2$ rozwiązania, gdy odpowiednio $a < - 1$ , $a = -1$ lub $a > - 1$ . Natomiast prawa strona wzoru (1) przy $n = 1$ jest równa $0$ , gdy $a < - 1$ ; równa $1$ , gdy $a = - 1$ , oraz równa $2$ , gdy $a > - 1$ . Zatem wzór (1) jest prawdziwy dla $n - 1$ .

Załóżmy z kolei, że wzór (1) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $n$ . Udowodnimy, że zachodzi on dla liczby $n + 1$ .

Mamy $w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1$ . Wobec tego równanie $w_{n+1}(x) = a$ jest równoważne równaniu

$ (2) \qquad w_n(x)^2=1 + a. $

Jeżeli $a < - 1$ , to oczywiście równanie (2) nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Zatem $r_{n+1} (a) = 0$ dla $a < - 1$ .

Jeżeli $a = - 1$ , to równanie (2) jest równoważne równaniu $w_n(x) = 0$ . Na mocy założenia indukcyjnego to ostatnie równanie ma $r_n(0) = = n + 1$ różnych rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Zatem $r_{n+1}(a) = n + 1$ dla $a = - 1$ .

Jeżeli $a >- 1$ , to równanie (2) jest równoważne równaniu

$ (w_n(x) - \sqrt{1 + a}) (w_n(x) + \sqrt{1 + a}) = 0. $

Równania

$ (3) \qquad w_n(x) = \sqrt{1 + a} \ \textrm{i} \ w_n(x) = - \sqrt{1 + a} $

nie mają wspólnych rozwiązań, ponieważ odejmując te równania stronami otrzymujemy równanie sprzeczne $0 = 2 \sqrt{1 + a}$ . Zatem liczba rozwiązań równania $w_{n+1}(x) = a$ jest równa sumie liczb rozwiązań każdego z równań (3), tzn.

$ (4) \qquad r_{n+1} (a) = r_n(\sqrt{1 + a}) + r_n (- \sqrt{1 + a}). $

Jeżeli $-1 < a < 0$ , to $0 < \sqrt{1 + a} < 1$ i $-1 < -\sqrt{1 + a} < 0$ . Wobec tego z założenia indukcyjnego otrzymujemy $r_n(\sqrt{1 + a}) = 2$ i $r_n (- \sqrt{1 + a}) = 2n$ . Zatem z (4) wynika, że $r_{n+1} (a) = 2 + 2n = 2(n + 1)$ , gdy $-1 < a < 0$ .

Jeżeli $a = 0$ , to $\sqrt{1 + a} = 1$ i $-\sqrt{1+a} = -1$ . Wobec tego z założenia indukcyjnego otrzymujemy $r_n(\sqrt{1 + a}) = r_n(1) = 2$ i $r_n(-\sqrt{1 + a}) = r_n(-1) = n$ . Zatem z (4) wynika, że $r_{n+1}(a) = 2 + n = (n + 1) + 1$ dla $a = 0$ .

Wreszcie, jeżeli $a > 0$ , to $\sqrt{1 + a} > 1$ i $- \sqrt{1 + a} < - 1$ . Wobec tego z założenia indukcyjnego otrzymujemy $r_n(\sqrt{1 + a}) = 2$ i $r_n(- \sqrt{1 + a}) = 0$ . Zatem z (4) wynika, że $r_{n+1} (a) = 2$ dla $a > 0$ .

Wykazaliśmy więc, że wzór (1) jest prawdziwy dla liczby $n + 1$ . Na mocy zasady indukcji wzór (1) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $n$ .