LVIII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Dany jest czworościan $ABCD$ . Dwusieczna kąta $ABC$ przecina krawędź $AC$ w punkcie $Q$ . Punkt $P$ jest symetryczny do $D$ względem punktu $Q$ . Punkt $R$ leży na krawędzi $AB$ , przy czym ${BR={1\over2}BC}$ . Udowodnić, że z odcinków o długościach $BP$ , $CD$ oraz $2\cdot QR$ można zbudować trójkąt.

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie środkiem krawędzi $BC$ , zaś $T$ - punktem symetrycznym do punktu $C$ względem punktu $Q$ (rys. 3).

Ponieważ $BS={1\over 2}BC=BR$ , więc punkty $R$ i $S$ leżą symetrycznie względem dwusiecznej $BQ$ kąta $ABC$ , a zatem $QR=QS$ . Ponadto trójkąt $CTB$ jest obrazem trójkąta $CQS$ w jednokładności o środku w punkcie $C$ i skali $2$ , co daje $BT=2\cdot QS=2\cdot QR$ . Wreszcie końce odcinków $TP$ i $CD$ są odpowiednio symetryczne do siebie względem punktu $Q$ , skąd $PT=CD$ .

Z wyprowadzonych zależności otrzymujemy, że trójkąt $BTP$ jest zbudowany z odcinków o długościach $BP$ , $BT=2\cdot QR$ oraz $PT=CD$ , skąd wynika teza (punkty $B$ , $T$ , $P$ nie leżą na jednej prostej, gdyż punkt $P$ znajduje się poza płaszczyzną $BCT$ ).