XXVIII - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

III

Funkcja $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest różniczkowalna i spełnia dla każdego $x$ warunek $h(ax) = b h(x)$ , gdzie $a$ i $b$ są pewnymi ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $0 \neq |a| \neq 1$ . Ponadto $h'(0) \neq 0$ i funkcja $h'$ jest ciągła w punkcie $x = 0$ .
Udowodnić, że $a = b$ oraz istnieje taka liczba rzeczywista $c$ , że $h(x) = cx$ .

Rozwiązanie

Ze wzoru

$ (1) \qquad h(ax) = b \cdot h(x) $

wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$ zachodzi równość

$ \frac{h(ax)-h(a \cdot 0)}{ax} = \frac{b \cdot h(x) - b \cdot h(0)}{ax}, $

czyli

$ \frac{h(ax)-h(0)}{ax} = \frac{b}{a} \frac{h(x) - h(0)}{x}. $

Przechodząc w (2) do granicy, gdy $x \to 0$ , otrzymujemy $h' (0) = \displaystyle \frac{b}{a} \cdot h'(0)$ i stąd, wobec $h'(0) \ne 0$ , że $a = b$ . Zatem równość (1) przybiera postać

$ (3) \qquad h(ax) = a \cdot h(x). $

Wobec tego $h(x) = h(a \cdot a^{-1} x) = a \cdot h(a^{-1} x)$ , czyli $h (a^{-1}x) = a^{-1} \cdot h(x)$ . Inaczej mówiąc, we wzorze (3) można $a$ zastąpić przez $a^{-1}$ .

Ponieważ $|a| < 1$ lub $|a^{-1}| < 1$ , więc bez zmniejszenia ogólności można przyjąć, że $|a| < 1$ .

Podstawiając $x = 0$ we wzorze (3) otrzymujemy $h(0) = a \cdot h(0)$ i stąd $h(0) = 0$ , ponieważ $a \ne 1$ .

Z (3) przez indukcję wynika, że

$ (4) \qquad h(a^nx) = a^n \cdot h(x) $

dla każdej liczby raturalnej $n$ . Ciąg $(a^nx)$ dąży do zera, gdy $n \to \infty$ , ponieważ $|a| < 1$ . Wobec tego na mocy (4) dla $x \ne 0$ mamy

$ h'(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{h(a^nx)-h(0)}{a^nx} = \lim_{n \to \infty} \frac{h(a^nx)}{a^nx} = \frac{h(x)}{x}, $

czyli $h(x) = h'(0) \cdot x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$ . Dla $x = 0$ wzór ten też zachodzi, ponieważ $h(0) = 0$ .

Wystarczy więc przyjąć $c = h'(0)$ .

Uwaga. W podanym wyżej rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że funkcja $h'$ jest ciągła w punkcie $x = 0$ , ani że funkcja $h$ jest różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Korzystaliśmy jedynie z tego, że istnieje pochodna funkcji $h$ w punkcie $x = 0$ oraz $h'(0) \ne 0$ .