XXVIII - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

III

Udowodnić, że dla dowolnego wielokąta wypukłego istnieje koło, na którego brzegu leżą trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta i które zawiera ten wielokąt.

Rozwiązanie

Jeżeli odcinek $\overline{AB}$ jest zawarty w brzegu półpłaszczyzny $\pi$ , to zbiór punktów należących do półpłaszczyzny $\pi$ , z których widać odcinek $overline{AB}$ pod kątem $\alpha$ , jest łukiem pewnego okręgu $K$ .

Z punktów półpłaszczyzny $\pi$ leżących wewnątrz okręgu $K$ widać odcinek $overline{AB}$ pod kątem większym od $\alpha$ , a z punktów półpłaszczyzny $\pi$ położonych na zewnątrz okręgu $K$ widać odcinek $\overline{AB}$ pod kątem mniejszym od $\alpha$ .

Niech $A_1, A_2, \ldots, A_n$ będą kolejnymi wierzchołkami danego wielokąta. Niech $A_k$ będzie tym z punktów $A_2, A_3, \ldots, A_{n-1}$ , z którego widać odcinek $overline{A_1A_n}$ pod najmniejszym kątem, tzn.

$ \measuredangle A_1A_kA_n \leq \measuredangle A_1A_jA_n \ \textrm{dla} \ j = 2, 3, \ldots, n-1. $

Wtedy każdy z punktów $A_2, A_3, \ldots, A_{n-1}$ należy do koła $K$ opisanego na trójkącie $A_1A_kA_n$ (rys. 21).

Jeżeli $k = 2$ , to okrąg $K$ spełnia warunki zadania. Jeżeli $k > 2$ , to niech $A_m$ będzie takim z punktów $A_2, A_3, \ldots, A_{k-1}$ , z którego widać odcinek $overline{A_1A_k}$ pod najmniejszym kątem, tzn.

$ \measuredangle A_1A_mA_k \leq \measuredangle A_1A_jA_k \ \textrm{dla} \ j = 2, 3, \ldots, k-1. $

Wtedy każdy z punktów $A_2, A_3, \ldots, A_{k-1}$ należy do koła $K'$ opisanego na trójkącie $A_1A_mA_k$ . Punkty $A_{k+1}, A_{k+2}, \ldots, A_{n-1}$ też należą do koła $K'$ , ponieważ $K'$ zawiera odcinek koła $K$ zawierający punkt $A_n$ i ograniczony cięciwą $overline{A_1A_k}$ .

Jeżeli $A_1, A_m, A_k$ są kolejnymi wierzchołkami danego wielokąta, to okrąg $K'$ spełnia warunki zadania. Jeżeli $A_1, A_m, A_k$ nie są trzema kolejnymi wierzchołkami tego wielokąta, na przykład $m < k - 1$ , to wybieramy punkt $A_p$ spośród $A_{m+1}, A_{m+2}, \ldots, A_{k-1}$ taki, że