XXVIII - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

III

Dany jest wielomian

$ W(x)= (x-a)^k\cdot Q(x), $

gdzie $a \neq O$ , $Q$ jest wielomianem niezerowym, $k$ jest liczbą naturalną. Dowieść, że $W$ ma co najmniej $k + 1$ współczynników różnych od zera.

Rozwiązanie

\spos{1} Zastosujemy indukcję względem $k$ dla $k \geq 0$ . Jeżeli $k = 0$ , to z (1) otrzymujemy $W(x) = Q(x)$ . Przy tym wielomian $W(x)$ ma co najmniej jeden współczynnik różny od zera, ponieważ wielomian $Q(x)$ jest niezerowy. Twierdzenie podane w zadaniu jest więc prawdziwe dla liczby $k = 0$ .

Z kolei niech $k$ będzie liczbą naturalną i załóżmy, że twierdzenie to zachodzi dla liczby $k-1$ . Niech wielomian $W(x)$ spełnia (1). Przedstawmy wielomian $Q(x)$ w postaci $x^r \cdot Q_1(x)$ , gdzie $r \geq 0$ i wielomian $Q_1(x)$ nie jest podzielony przez $x$ , tzn. ma wyraz wolny różny od zera. Wtedy z (1) wynika, że $W(x) = x^r \cdot W_1(x)$ , gdzie

$ (2) \qquad W_1(x)= (x - a)^k \cdot Q_1(x). $

Ponieważ $W(x) = x^r \cdot W_1(x)$ , więc liczby współczynników różnych od zera w wielomianach $W(x)$ i $W_1(x)$ są równe.

Różniczkując obustronnie równość (2) otrzymujemy

$ \begin{split} W'_1(x) & = k \cdot (x - a)^{k-1} \cdot Q_1(x) + (x - a)^k \cdot Q'_1(x) =\\ & = (x - a)^{k-1} [k \cdot Q_1(x) + (x - a) \cdot Q'_1(x)]. \end{split} $

Przy tym wielomian $k \cdot Q_1(x) +(x-a) \cdot Q_1'(x)$ jest niezerowy, ponieważ wielomian $W'_1(x)$ jest niezerowy na mocy (2). Z założenia indukcyjnego wynika więc, że wielomian $W_1'(x)$ ma co najmniej $k$ współczynników różnych od zera.

Przy różniczkowaniu dowolnego wielomianu jego wyraz wolny przechodzi na zero, a jednomiany różnych stopni dodatnich - na jednomiany różnych stopni. Wobec tego, jeżeli wielomian ma wyraz wolny różny od zera, to liczba jego współczynników różnych od zera jest o $1$ większa od liczby współczynników różnych od zera pochodnej tego wielomianu.

Z (2) wynika, że wielomian $W_1(x)$ ma wyraz wolny różny od zera. Wobec tego ma on o jeden współczynnik różny od zera więcej niż wielomian $W_1'(x)$ . Zatem wielomian $W_1(x)$ , a więc i $W(x)$ , ma co najmniej $k + 1$ współczynników różnych od zera. Udowodniliśmy więc twierdzenie podane w zadaniu dla liczby $k$ .

Na mocy zasady indukcji twierdzenie to zachodzi dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $k$ .