XXVII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Rozłożyć na czynniki możliwie najniższego stopnia :
a) $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$ ,
b) $2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4$ .

Rozwiązanie

a) Na mocy tożsamości

$ x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2) $

otrzymujemy, że wyrażenie dane w zadaniu jest równe

$ \begin{split} & (a+b+c)^3 -a^3 -(b^2 - (-c)^3)= \\ &\quad = (b + c)((a + b + c)^2 + (a + b + c)a + a^2) - (b + c)(b^2 - bc + c^2)=\\ &\quad =(b + c)(a2^ + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac + a^2 + ab + ac + a^2 - b^2 + bc - c^2) =\\ &\quad= (b + c)(3c^2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b+c)(a+b)(a+c). \end{split} $

b) Przekształcamy wyrażenie dane w zadaniu

$ \begin{split} & 4a^2b^2 - (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (2b^2c^2 + 2a^2c^2) - c^4 =\\ &\quad= 4a^2b^2 - (a^2 + b^2)^2 + 2c^2(a^2 + b^2) - c^4 = \\ &\quad = (2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = (2ab - a^2 - b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 - c^2) =\\ &\quad = (c^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 - c^2) = (c -a + b) \cdot (c + a - b)(a + b-c)(a+ b +c). \end{split} $