XXVII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem

$ f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i} $

gdzie $x_1, x_2, \ldots, x_n$ są danymi liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie

Jak wiadomo, zachodzą następujące nierówności:

$ |x + y| \leq |x| + |y| \ \textrm{oraz}\ \sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b},\ \textrm{gdzie}\ a,\ b \geq 0. $

Wobec tego dla dowolnej liczby rzeczywistej $t$ mamy

$ \begin{split} & \sqrt{|x_i - x_1|} = \sqrt{|(x_i-t) + (t-x_1)|} \leq \sqrt{|x_i-t| + |t-x_1|} \leq \\ & \leq \sqrt{|x_i - t|} + \sqrt{|t- x_1|}. \end{split} $

Zatem

$ f(x_1) = \sum_{i=1}^n \frac{|x_i-x_1|}{2^i} = \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|x_i-x_1|}}{2^i} \leq \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i} + \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|t-x_1|}}{2^i}, $

gdzie $t$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Na mocy wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego mamy

$ \sum_{i=2}^n \frac{1}{2^i} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\displaystyle 1-\left( \frac{1}{2}\right)^{n-1}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{2}} < \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 -\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}. $