XXVII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Dowieść, że dowolną parę okręgów nie przecinających się można przekształcić przez inwersję na parę okręgów współśrodkowych.

Uwaga: Inwersją względem okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi $X$ płaszczyzny zawierającej ten okrąg różnemu od punktu $O$ przyporządkowuje punkt $Y$ leżący na półprostej $OX^\to$ taki, że $OX \cdot OY= r^2$ . O własnościach inwersji można przeczytać w książce S. Straszewicz; Zadania z olimpiad matematycznych. Warszawa 1956, str. 181-186 t. I.

Rozwiązanie

Niech prosta $m$ zawiera środki danych okręgów i niech odcinki $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ , gdzie $A, B, C, D \in m$ , będą średnicami danych okręgów. Z warunków zadania wynika, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ są różne i albo odcinki $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ są rozłączne, albo jeden z nich jest zawarty w drugim.

Wprowadzamy tak współrzędne na prostej $m$ , by $C = (-1)$ , $D = (1)$ i niech $A = (a)$ i $B = (b)$ . Z warunków zadania wynika więc, że $|a|,\ |b| < 1$ lub $|a|,\ |b| > 1$ . W każdym z tych przypadków mamy

$ (1) \qquad (a^2-1)(b^2-1)>0. $

Inwersja $\varphi$ względem okręgu o środku $O$ jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem zbioru punktów płaszczyzny bez punktu $O$ , które odwzorowuje okręgi nie zawierające punktu $O$ na okręgi nie zawierające punktu $O$ . Przy tym, jeżeli $\overline{PQ}$ jest średnicą takiego okręgu $L$ i $O \in PQ$ , to odcinek $\overline{\varphi(P)\varphi(Q)}$ jest średnicą okręgu $\varphi(L)$ .

Dla rozwiązania zadania wystarczy więc znaleźć taką inwersję $\varphi$ względem pewnego okręgu $K$ , którego środek $O$ należy do $m$ , że punkt $O$ jest różny od $A$ , $B$ , $C$ i $D$ i środki odcinków $\overline{\varphi(A)\varphi(B)}$ i $\overline{\varphi(C)\varphi(D)}$ są równe, tzn.

$ (2) \qquad \frac{1}{2}{\varphi(A) + \varphi(B)} = \frac{1}{2} (\varphi(C) + \varphi(B)). $

Niech długość promienia okręgu $K$ będzie równa $r$ i niech $O = (x)$ . Jeżeli obrazem przy inwersji $\varphi$ punktu $(y) \in m$ różnego od $O$ jest punkt $\varphi(y) = (y')$ , to z określenia inwersji $\varphi$ wynika, że $(y'-x)(y-x)=r^2$ , czyli $y'= x + \frac{r^2}{y-x}$ . W szczególności punkty $\varphi(A)$ , $\varphi(B)$ , $\varphi(C)$ , $\varphi(D)$ mają współrzędne równe odpowiednio $\displaystyle x + \frac{r^2}{a-x}$ , $\displaystyle x + \frac{r^2}{b-x}$ , $\displaystyle x + \frac{r^2}{-1-x}$ , $\displaystyle x + \frac{r^2}{1-x}$ .

Warunek (2) przybiera więc postać

$ (3) \qquad \frac{1}{a-x}+ \frac{1}{b-x}= \frac{1}{-1-x} + \frac{1}{1-x}. $

Wystarczy wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ spełniających (1) istnieje rozwiązanie równania (3). Przekształcając (3) otrzymujemy

$ (4) \qquad (a + b)x^2 - 2(ab + 1)x + (a + b) = 0. $

Jeżeli $a + b = 0$ , tzn. jeżeli dane w zadaniu okręgi są współśrodkowe, to rozwiązaniem równania (4) jest $x = 0$ . Zatem inwersja względem dowolnego okręgu o środku w punkcie $(0)$ spełnia warunki zadania.

Jeżeli $a + b = 0$ , tzn. jeżeli dane okręgi nie są współśrodkowe, to trójmian $f(x) = (a + b)x^2 - 2(ab + 1)x + (a + b)$ ma pierwiastki rzeczywiste, ponieważ jego wyróżnik równy $4(ab + 1)^2 - 4 (a + b)^2 = 4 (a^2 - 1)(b^2 - 1)$ jest dodatni na mocy (1). Pierwiastki te są różne od $a$ , $b$ , $-1$ , $1$ (a więc są pierwiastkami równania (3)), ponieważ liczby

$ (5) \qquad \begin{array}{cc} f(a) = (a^2 - 1)(a - b), & f(b) = (b^2 - 1)(b - a),\\ f(-1) = 2(a + 1)(b + 1), & f(1) = -2(a - 1)(b - 1) \end{array} $

są różne od zera.

Uwaga 1. Z powyższego rozumowania wynika, że jeżeli dane okręgi nie są współśrodkowe i jeden z nich jest zawarty w drugim, to istnieje taki okrąg $K$ , że inwersja względem $K$ przeprowadza dane okręgi na okręgi współśrodkowe i środek okręgu $K$ leży na zewnątrz danych okręgów.

Istotnie, bez zmniejszenia ogólności można przyjąć, że $- 1 < a 0$ i $f(1) < 0$ . Wobec tego w przedziale $\langle - 1;\ 1 \rangle$ istnieje tylko jeden pierwiastek trójmianu $f$ . Drugi jego pierwiastek leży więc poza tym przedziałem. Wystarczy więc jako $K$ wziąć okrąg o środku $O$ wyznaczonym przez ten drugi pierwiastek.

Uwaga 2. Długość $r$ promienia poszukiwanego okręgu $K$ nie występowała w równaniu (3). Wobec tego liczbę $r$ można wybrać dowolnie, tzn. inwersja względem każdego okręgu o środku w wyznaczonym punkcie $O$ spełnia warunki zadania.