XXVII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty $P$ i $Q$ , że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połączyć z jednym z punktów $P$ , $Q$ łamaną długości $\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ leżącą na powierzchni czworościanu.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że jako punkty $P$ i $O$ można wziąć środki krawędzi $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ danego czworościanu foremnego $ABCD$ . Rozpatrzmy rozwinięcie płaskie dwóch ścian $ABC$ i $BCD$ tego czworościanu. Otrzymana figura płaska $ABCD$ jest rombem o boku długości $1$ i kącie ostrym $\measuredangle A = 60^\circ$ (rys. 8). Niech punkt $P'$ dziekodcinek $\overline{PC}$ w stosunku $2 \colon 1$ i podobnie - punkt $Q'$ dzieli odcinek $\overline{QB}$ w stosunku $2 \colon 1$ . Mamy więc $P'C =\frac{1}{3} PC = \frac{1}{3} AC \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{6}$ . Ponieważ $\measuredangle<br /> PCD = \measuredangle PCB + \measuredangle BCD = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ , więc trójkąt $PCQ$ jest prostokątny.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$<br /> P'Q^2 = P'C^2 + CQ^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{6} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3},<br />$

czyli $P'Q = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Analogicznie obliczamy, że $Q'B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i $Q'P = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Wobec tego $PP' = 2P'C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ podobnie $QQ' = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Mamy też $PB = QC = \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Wynika stąd, że czworokąt $PBQ'P'$ jest zawarty w kole o środku w punkcie $P$ i promieniu długości $\frac{\sqrt{3}}{3}$ i podobnie - czworokąt $QCP'Q'$ jest zawarty w kole o środku w punkcie $Q$ i promieniu długości $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . W szczególności więc każdy punkt trójkąta $BCP$ jest odległy od jednego z punktów $P$ i $O$ nie więcej niż o $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Podobnie przebiega dowód analogicznej własności dla każdego z $8$ trójkątów, na które dzielą ściany danego czworościanu wysokości o spodkach w punktach $P$ lub $Q$ .