XXVII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

W koło o promieniu 1 wpisano trójkąt o długościach boków $a, b, c$ . Dowieść, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2 + b^2 + c^2 > 8$ , prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2 + b^2 + c^2 = 8$ , rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2 + b^2 + c^2 < 8$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia sinusów mamy $\displaystyle 2 = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ , gdzie $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są kątami rozważanego trójkąta leżącymi naprzeciwko boków o długości $a$ , $b$ , $c$ odpowiednio. Stąd

$ (1) \qquad a = 2 \sin \alpha,\ b = 2 \sin \beta,\ c = 2 \sin \gamma. $

Z twierdzenia cosinusów mamy $a^2 + b^2 = c^2 + 2ab \cos \gamma$ . Zatem na mocy (1) otrzymujemy

$ a^2 + b^2 + c^2 = 2c^2 + 2ab \cos \gamma = 8 (\sin^2 \gamma + \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma) = 8(1 - \cos \gamma(\cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta)). $

Ponieważ $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$ , więc $\cos \gamma = -\cos (\alpha + \beta) = = \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta$ . Wynika stąd, że

$ (2) a^2 + b^2 + c^2 = 8 + 8\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma. $

Jeżeli kąty $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są ostre, to liczby $\cos \alpha$ , $\cos \beta$ , $\cos \gamma$ są dodatnie; jeżeli jeden z kątów $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ jest prosty, to jedna z tych liczb jest równa zeru; jeżeli zaś jeden z kątów $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ jest rozwarty, to jedna z tych liczb jest ujemna. Zatem liczba $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ jest dodatnia (równa zeru, ujemna) wtedy i tylko wtedy, gdy dany trójkąt jest ostrokątny (odpowiednio: prostokątny lub rozwartokątny). Wobec tego z (2) wynika teza zadania.