XXVII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Punkty $A', B', C', D'$ płaszczyzny $Q$ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $A, B, C, D$ płaszczyzny $P$ , przy czym punkty $A, B, C, D, A', B', C', D'$ są różne i żadne trzy spośród nich nie leżą na prostej. Dowieść, że czworościany $ABCD'$ i $A'B'C'D$ mają równe objętości.

Rozwiązanie

Niech $E$ będzie punktem przecięcia prostych $AC$ i $BD$ , a $E'$ - punktem przecięcia prostych $A'C'$ i $B'D'$ (rys. 9). Ponieważ punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , więc rzutami prostych $AC$ i $BD$ są odpowiednio proste $A'C'$ i $B'D'$ i wobec tego rzutem punktu $E$ jest punkt $E'$ .

Wynika stąd, że

$ (1) \qquad AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD' \parallel EE'. $

Proste $AA'$ i $CC'$ są więc równoległe do płaszczyzny $BB'D'D$ . Niech $h_1$ i $h_2$ będą odpowiednio odległościami tych prostych od tej płaszczyzny.

Czworościan $ABCD'$ jest sumą czworościanów $ABD'E$ i $CBD'E$ . Traktując trójkąt $BD'E$ jako podstawę każdego z tych czworościanów obliczamy ich objętości:

$ V_{ABD'E} = \frac{1}{3}\ h_1 \cdot S_{BD'E'}, \quad V_{CBD'E} = \frac{1}{3}\ h_2 \cdot S_{BD'E}. $

Wobec tego objętość czworościanu $ABCD'$ jest równa

$ (2) \qquad V_{ABCD'} = \frac{1}{3} (h_1 + h_2)S_{BD'E}. $

Analogicznie traktując czworościan $A'B'C'D$ jako sumę czworościanów $A'B'DE'$ i $C'B'DE'$ obliczamy, że jego objętość wyraża się wzorem

$ (3) \qquad V_{A'B'C'D} = \frac{1}{3}(h_1 + h_2) S_{B'DE'}. $

Ze wzorów (2) i (3) wynika, że dla rozwiązania zadania wystarczy jeszcze udowodnić równość pól trójkątów $BD'E$ i $B'DE'$ :

$ (4) \qquad S_{BD'E} = S_{B'DE'}. $

Na mocy (1) figura $BB'D'D$ jest trapezem o podstawach $BB'$ i $DD'$ , a prosta $EE'$ jest równoległa do jego podstaw (rys. 10). Jeżeli $h_3$ i $h_4$ są odpowiednio odległościami prostej $EE'$ od prostych $BB'$ i $DD'$ , to