XXVII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Ciąg $(x_n)$ określony jest wzorami $x_0 = 25$ , $x_n = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}}$ ( $n = 1, 2, \ldots$ ) Dowieść, że $x_n > 1975$ dla $n > 1950000$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy ogólniejsze
Twierdzenie. Jeżeli $\displaystyle x_0 > \frac{1}{2}$ i $x_{n} = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}}$ dla $n = 1, 2, \ldots$ , to dla każdej liczby naturalnej $N$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{x_0^2 + 2N} < x_N > \frac{1}{2x_0} + \sqrt{x_0^2 + 2N}. $

Dowód. Wyrazy ciągu $(x_{n})$ są oczywiście liczbami dodatnimi. Wobec tego $x_n = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}} > x_{n-1}$ dla $n=1, 2, \ldots$ tzn. ciąg
$(x_{n})$ jest rosnący.

Podnosząc obustronnie równość $x_{n} = x_{n-1}+ \frac{1}{x_{n-1}}$ do kwadratu otrzymujemy

$ (2) \qquad x_n^2 = x_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{x^2_{n-1}} $

i stąd $x_n^2 - x_{n-1}^2 > 2$ . Podstawiając tu kolejno $n = 1, 2, \ldots, N$ i dodając stronami otrzymane nierówności uzyskujemy $x^2_N - x^2_0 > 2N$ , czyli

$ (3) \qquad x_N > \sqrt{x_0^2 + 2N}. $

Z drugiej strony, ponieważ ciąg $(x_{n})$ jest rosnący i jego wyrazy są liczbami dodatnimi, więc

$ \frac{1}{x^2_{n-1}} = \frac{1}{x_{n-1}} \frac{1}{x_{n-1}} \leq \frac{1}{x_0} \frac{1}{x_{n-1}} = \frac{1}{x_0} (x_n - x_{n-1}). $

Wobec tego z (2) otrzymujemy

$ x_n^2 - x_{n-1}^2 \leq 2 + \frac{1}{x_0} (x_n - x_{n-1}). $

Podstawiając tu kolejno $n = 1,2, \ldots, N$ i dodając stronami otrzymane nierówności uzyskujemy

$ x_N^2 - x_0^2 \leq 2N + \frac{1}{x_0} (x_N - x_0) = 2N + \frac{x_N}{x_0} - 1. $

Wobec tego

$ \left( x_N - \frac{1}{2x_0} \right)^2 = x_N^2 - \frac{x_N}{x_0} + \frac{1}{4x_0^2} \leq x_0^2 + 2N - 1 + \frac{1}{4x_0^2} < x^2 + 2N, $

ponieważ $x_0^2 > \frac{1}{2}$ .

Stąd otrzymujemy $x_N - \frac{1}{2x_0} < \sqrt{x_0^2 + 2N}$ i wobec tego na mocy (3) mamy tezę twierdzenia.

Jeżeli $x_0 = 25$ i $N > 1950000$ , to z (1) wynika, że $x_N > \sqrt{x_0^2}+ 2N > \sqrt{25^2 + 2 \cdot 1950000} = \sqrt{1975^2} = 1975$ , co daje rozwiązanie zadania.

Zauważmy jeszcze, że dla $x_0 = 25$ i $N= 1950000$ z (1) wynika, że
$x_N < \frac{1}{2 \cdot 25} + \sqrt{25^2 + 2 \cdot 1950000} = \frac{1}{50} + 1975 = 1975,02$ .

Wzór (1) pozwala więc wyznaczyć liczbę $x_{N}$ z błędem mniejszym od $0,01$ . Mianowicie, z powyższego wynika, że

$ |x_{1950000} - 1975,01| < 0,01. $