LVIII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Niech $F(k)$ będzie iloczynem wszystkich dodatnich dzielników liczby całkowitej dodatniej $k$ . Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby całkowite dodatnie $m$ , $n$ , dla których ${F(m)=F(n)}$ .

Rozwiązanie

Odpowiedź: Takie liczby $m$ i $n$ nie istnieją.

Niech $1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n$ będą wszystkimi dodatnimi dzielnikami ustalonej liczby całkowitej dodatniej $n$ . Wówczas $n/d_1$ , $n/d_2$ , $\ldots$ , $n/d_k$ także są wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby $n$ , zatem możemy napisać

$ F(n)=d_1\cdot d_2\cdot\ldots\cdot d_k= {n\over d_1}\cdot{n\over d_2}\cdot\ldots\cdot{n\over d_k}. $

Stąd wynika, że

$ F(n)=\root\of{d_1\cdot d_2\cdot\ldots\cdot d_k\cdot {n\over d_1}\cdot{n\over d_2}\cdot\ldots\cdot{n\over d_k}} =\root\of{n^k}=n^{k/2}=n^{d(n)/2}, $

gdzie $d(n)$ oznacza liczbę wszystkich dodatnich dzielników liczby $n$ .

Przypuśćmy teraz, że dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $m$ , $n$ zachodzi równość $F(m)=F(n)$ . Wtedy $m^{d(m)/2}=n^{d(n)/2}$ , a więc uzyskujemy zależność $m^{d(m)}=n^{d(n)}$ . Zatem (patrz: {\it Uwaga\/}) liczby $m$ , $n$ są potęgami tej samej liczby całkowitej dodatniej: $m=w^c$ i $n=w^b$ dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $w$ , $b$ , $c$ .

Załóżmy, że $c<b$ . Wtedy $m$ jest potęgą tej samej liczby całkowitej dodatniej co $n$ , ale o mniejszym wykładniku. Stąd wynika, że $m<n$ oraz - ponieważ każdy dzielnik liczby $m$ jest także dzielnikiem liczby $n$ - zachodzi $d(m)\le d(n)$ . Wobec tego $m^{d(m)}<n^{d(n)}$ i otrzymaliśmy sprzeczność. Podobna sprzeczność powstaje przy założeniu $c>b$ . Musi więc być $c=b$ , skąd otrzymujemy $m=w^c=w^b=n$ .

Uwaga: W powyższym rozwiązaniu skorzystaliśmy z następującego faktu: jeżeli liczby całkowite dodatnie $k$ , $l$ , $r$ , $s$ spełniają równość $k^r=l^s$ , to $k$ i $l$ są potęgami tej samej liczby całkowitej dodatniej.

Ażeby to udowodnić, weźmy $a=\mathrm{NWD}(r,s)$ i niech $r=ab$ , $s=ac$ ; liczby całkowite dodatnie $b$ i $c$ są względnie pierwsze. Ponadto z równości ${k^r=l^s}$ otrzymujemy $k^b=l^c$ . Stąd wynika, że jeżeli $p$ jest dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby $k$ oraz $t$ jest taką liczbą całkowitą dodatnią, że $k$ dzieli się przez $p^t$ i nie dzieli sie przez $p^{t+1}$ , to liczba $k^b$ dzieli się przez $p^{bt}$ i nie dzieli się przez $p^{bt+1}$ .

Jednakże $k^b$ jest jednocześnie $c$ -tą potęgą liczby całkowitej $l$ , zatem $c$ musi być dzielnikiem iloczynu $bt$ . Skoro zaś $b$ i $c$ są względnie pierwsze, liczba $c$ musi być dzielnikiem liczby $t$ . Tak więc każdy dzielnik pierwszy liczby $k$ wchodzi do jej rozkładu na czynniki pierwsze z wykładnikiem podzielnym przez $c$ , przeto $k$ jest $c$ -tą potęgą liczby całkowitej. Wobec tego z równości $k^b=l^c$ wynika, że $l=(\root{\scriptstyle c}\of{k})^b$ , czyli $k$ i $l$ są potęgami liczby całkowitej $\root{\scriptstyle c}\of{k}$ .