XXVII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Rozważamy czaszę kulistą nie zawierającą żadnego kola wielkiego. Odległość punktów $A$ i $B$ na takiej czaszy określamy jako długość tego łuku koła wielkiego kuli o końcach w punktach $A$ i $B$ , który jest zawarty w czaszy. Wykazać, że nie istnieje izometria odwzorowująca tę czaszę na podzbiór płaszczyzny.
Uwaga. Czasza kulista jest to każda z dwóch części, na które dzieli powierzchnię kuli płaszczyzna przecinająca tę kulę.

Rozwiązanie

Niech dana czasza kulista odpowiada kątowi środkowemu $\alpha$ . Z założenia mamy $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Dla dowolnego kąta $\beta$ spełniającego $0 < \beta < \alpha$ rozpatrzmy ostrosłup prawidłowy $OABCD$ , którego podstawą jest kwadrat $ABCD$ wpisany w daną czaszę kulistą, a wierzchołkiem $O$ - środek sfery zawierającej tę czaszę, i taki, że $\measuredangle AOC = \beta$ (rys. 13). Niech $\measuredangle AOD = \gamma$ i niech punkty $P$ i $Q$ będą odpowiednio środkami odcinków $\overline{AD}$ i $\overline{AC}$ .

Mamy następujące zależności

$ AQ = AP \sqrt{2}, $

$ AP = AO \sin \measuredangle AOP = AO \sin \frac{\gamma}{2}, $

$ AQ = AO \sin \measuredangle AOQ = AO \sin \frac{\beta}{2}. $

Zatem

$ (1) \qquad \sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\gamma}{2}. $

Jeżeli $R$ jest długością promienia sfery zawierającej daną czaszę kulistą, to odległości punktów $A$ i $C$ oraz punktów $B$ i $D$ na czaszy są równe $R\beta$ , a odległości punktów $A$ i $B$ , $B$ i $C$ , $C$ i $D$ oraz $D$ i $A$ na czaszy są równe $R\gamma$ .

Jeżeli istnieje izometria $\varphi$ danej czaszy kulistej na podzbiór płaszczyzny, to $\varphi(A) \varphi (B)\varphi (C) \varphi (D)$ jest takim czworokątem na płaszczyźnie, że $\varphi(A)\varphi(B) = \varphi(B)\varphi(C) = \varphi(C)\varphi(D) = \varphi(D)\varphi(A) = R \gamma$ . Jest to więc romb. Jego przekątne mają równe długości: $\varphi(A)\varphi(C) = \varphi(B) \varphi(D) = R\beta$ . Rozważany czworokąt jest więc kwadratem. Wobec tego $\varphi(A)\varphi(C) = \sqrt{2}\varphi(A)\varphi(B)$ , czyli

$ (2) \qquad \beta =\sqrt{2} \gamma. $

Z (1) i (2) wynika, że $\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\beta}{2\sqrt{2}}$ dla każdego kąta $\beta$ spełniającego $0 < \beta < \alpha$ . Podstawiając tu w szczególności na miejsce $\beta$ kąt $\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ otrzymujemy $\sin \frac{\beta}{2\sqrt{2}}= \sqrt{2} \sin \frac{\beta}{4}$ . Z ostatnich dwóch równości wynika, że $\sin \frac{\beta}{2} =2 \sin \frac{\beta}{4}$ . Z drugiej strony mamy $\sin \frac{\beta}{2} = 2 \sin \frac{\beta}{4} \cos \frac{\beta}{4}$ . Porównując uzyskane wyniki otrzymujemy, że $cos \frac{\beta}{4} = 1$ . Jest to niemożliwe, ponieważ $0 < \frac{\beta}{4} < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{8}$ .

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje izomeria $\varphi$ danej czaszy kulistej na podzbiór płaszczyzny.