XXVII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Dowieść, że jeżeli $\cos \pi x =\frac{1}{3}$ to $x$ jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie

Niech $\cos t = \frac{1}{3}$ . Udowodnimy przez indukcję, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi wzór

$ (1) \qquad \cos nt = \frac{a_n}{3^n}, $

gdzie $a_n$ jest liczbą całkowitą niepodzielną przez $3$ .

Dla $n=1$ wystarczy przyjąć $a_1 = 1$ . Dla $n = 2$ mamy

$ \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \frac{-7}{3^2}. $

Zatem $a_2= -7$ . Załóżmy z kolei, że dla pewnej liczby naturalnej $k$ zachodzi

$ \cos kt = \frac{a_k}{3^k} \ \textrm{i} \ \cos (k+1)t =\frac{a_{k+1}}{3^{k+1}}, $

gdzie $a_k$ i $a_{k+1}$ są liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez $3$ . Mamy $\cos (k + 2)t + \cos kt = 2\cos (k + 1)t \cdot \cos t$ . Zatem

$ \cos (k + 2)t = 2 \frac{a_{k+1}}{3^{k+1}} \cdot \frac{1}{3} - \frac{a_k}{3^k} = \frac{2a_{k+1} - 9a_k}{3^{k+2}}. $

Liczba $a_{k+2} = 2a_{k+1} - 9a_k$ oczywiście jest całkowita i niepodzielna przez $3$ . Wobec tego na mocy zasady indukcji wzór (1) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $n$ .

Przypuśćmy teraz, że dla pewnej liczby wymiernej $x = \frac{r}{s}$ zachodzi
$\cos \pi x = \frac{1}{3}$ . Wtedy $t = \pi x$ i na mocy wzoru (1) przy $n = 2s$ mamy

$ (2) \qquad \cos 2s \pi x = \frac{a_{2s}}{3^{2s}}, $

gdzie $a_{2s}$ jest liczbą całkowitą niepodzielną przez $3$ .

Z drugiej strony mamy

$ \cos 2s \pi x= \cos 2 s \pi \frac{r}{s} = \cos 2 \pi r = 1. $

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że dla żadnej liczby wymiernej $x$ nie zachodzi $\cos \pi x = \frac{1}{3}$ .

Uwaga. Rozumując podobnie można udowodnić, że jeżeli liczba $\cos \pi x$ jest wymierna i różna od $0$ , $\pm \frac{1}{2}$ i $\pm 1$ , to $x$ jest liczbą niewymierną.

Patrz też artykuły w czasopiśmie Matematyka nr 5(128) z 1973 r str. 313-317 oraz „r 3(132) z 1974 r, str. 168-172.