XXVII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

Na płaszczyźnie umieszczono sześć punktów w ten sposób, że każde trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o bokach różnej długości. Udowodnić, że najkrótszy bok pewnego z tych trójkątów jest zarazem najdłuższym bokiem innego z nich.

Rozwiązanie

Niech $P_1, P_2, \ldots, P_6$ będą danymi punktami. W każdym z trójkątów $P_iP_jP_k$ pomalujmy najkrótszy bok na czerwono. W ten sposób pewne odcinki $\overline{P_rP_s}$ zostały pomalowane na czerwono, a pewne pozostały nie pomalowane.

Wystarczy udowodnić, że istnieje trójkąt o wierzchołkach w danych punktach, którego wszystkie boki zostały pomalowane na czerwono. Najdłuższy bok tego trójkąta jest bowiem równocześnie najkrótszym bokiem pewnego innego trójkąta, ponieważ został pomalowany na czerwono. Z każdego z danych punktów wychodzi pięć odcinków łączących go z pozostałymi danymi punktami. Zatem albo co najmniej $3$ z tych odcinków są pomalowane na czerwono, albo co najmniej $3$ są nie pomalowane.

Jeżeli z punktu $P_1$ wychodzą co najmniej trzy odcinki pomalowane na czerwono (np. odcinki $\overline{P_1P_2}$ , $\overline{P_1P_3}$ , $\overline{P_1P_4}$ są pomalowane na czerwono), to również w trójkącie wyznaczonym przez drugie końce tych odcinków (tzn. w trójkącie $P_2P_3P_4$ ) co najmniej jeden z boków (mianowicie najkrótszy) jest pomalowany na czerwono. Niech np. odcinek $\overline{P_2P_3}$ będzie pomalowany na czerwono. Wtedy w trójkącie $P_1P_2P_3$ wszystkie boki są pomalowane na czerwono.

Jeżeli zaś z punktu $P_1$ wychodzą co najmniej trzy odcinki nie pomalowane (niech to będą odcinki $\overline{P_1P_2}$ , $\overline{P_1P_3}$ , $\overline{P_1P_4}$ ) to rozważmy trójkąty $P_1P_2P_3$ , $P_1P_2P_4$ , $P_1P_3P_4$ . W każdym z nich co najmniej jeden z boków jest pomalowany na czerwono, lecz nie jest to bok zawierający wierzchołek $P_1$ . Wobec tego odcinki $\overline{P_2P_3}$ , $\overline{P_2P_4}$ , $\overline{P_3P_4}$ , są pomalowane na czerwono, tzn. trójkąt $P_2P_3P_4$ ma wszystkie boki pomalowane na czerwono.