XXVII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

III

Rozstrzygnąć, czy liczba

$ \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{3\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18} \sin \frac{9\pi}{18} $

jest wymierna.

Rozwiązanie

Korzystając trzykrotnie ze wzoru $\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a$ otrzymujemy

$ \sin \frac{8 \pi}{18} = 2 \sin \frac{4 \pi}{18} \cos \frac{4 \pi}{18} = 4 \sin \frac{2 \pi}{18} \cos \frac{2 \pi}{18} \cos \frac{4 \pi}{18}= 8 \sin \frac{\pi}{18} \cos \frac{\pi}{18} \cos \frac{2 \pi}{18} \cos \frac{4 \pi}{18}. $

Ponieważ $\cos a = \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right)$ , więc z udowodnionej równości wynika, że

$ \sin \frac{8 \pi}{18} = 8 \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{8 \pi}{18} \sin \frac{7 \pi}{18} \sin \frac{5 \pi}{18}. $

Zatem

$ (1) \qquad \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5 \pi}{18} \sin \frac{7 \pi}{18} = \frac{1}{8}. $

Ponieważ $\sin \frac{3 \pi}{18} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ i
$\sin \frac{9 \pi}{18} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ , więc z (1) otrzymujemy, że

$ \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{3 \pi}{18} \sin \frac{5 \pi}{18} \sin \frac{7 \pi}{18} \sin \frac{9 \pi}{18} = \frac{1}{16}. $

Liczba dana w zadaniu jest więc wymierna.