XXVII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

III

Dane są cztery takie ciągi liczb rzeczywistych $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ , $(d_n)$ , że dla
każdego $n$

$ \begin{split} a_{n+1} = a_n + b_n,&\quad b_{n+1} = b_n + c_n,\\ c_{n+1} = c_n + d_n,&\quad d_{n+1} = d_n + a_n. \end{split} $

Udowodnić, że jeżeli dla pewnych $k, m \geq 1$ jest $a_{k+m} = a_m$ , $b_{k+m} = b_m$ , $c_{k+m} = c_m$ , to $a_2=b_2=c_2=d_2$ .

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że ciągi $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ , $(d_n)$ są od pewnego miejsca okresowe, a więc i ciągi $A_n = a_n + b_n + c_n + d_n$ oraz $B_n = a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2$ są od pewnego miejsca okresowe. Mamy też $A_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} + d_{n+1}= (a_n + b_n) + (b_n + c_n) + (c_n + d_n) + (d_n + a_n) = 2(a_n + b_n + c_n + d_n) = 2A_n$ i stąd przez łatwą indukcję $A_{n+1} = 2^nA_1$ dla $n \geq 0$ . Ponieważ ciąg $(2^n)$ dąży do nieskończoności, a ciąg $(A_n)$ jest od pewnego miejsca okresowy, więc wynika stąd, że $A_1 = 0$ i wobec tego $A_n = 0$ dla każdej liczby naturalnej $n$ .

Stwierdzamy następnie, że $a_{n+1} + c_{n+1} = (a_n + b_n) + (c_n + d_n) = A_n = 0$ . Wobec tego

$ \begin{split} B & _{n+2} = a_{n+2}^2 + b_{n+2}^2 + c_{n+2}^2 + d_{n+2}^2 = (a_{n+1} + b_{n+1})^2 + (b_{n+1} + c_{n+1})^2 + \\ & + (c_{n+1} + d_{n+1})^2 + (d_{n+1} + a_{n+1})^2= 2(a_{n+1}^2 + b_{n+1}^2 + c_{n+1}^2 + d_{n+1}^2) + \\ & + 2(a_{n+1} + c_{n+1})(b_{n+1} + + d_{n+1}) = 2(a_{n+1}^2 + b_{n+1}^2 + c_{n+1}^2 + d_{n+1}^2) = 2B_{n+1} \end{split} $

dla $n = 1, 2, \ldots$ i stąd $B_{n+2} = 2^nB_2$ dla $n \geq 1$ .

Podobnie, jak poprzednio, z okresowości ciągu $(B_n)$ wynika, że $B_2 = 0$ , czyli $a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 + d_2^2 = 0$ . Ponieważ liczby $a_2$ , $b_2$ , $c_2$ , $d_2$ są rzeczywiste, więc z ostatniej równości otrzymujemy, że $a_2 = b_2 = c_2 = d_2 = 0$ .

Uwaga 1: Z warunków zadania i powyższego rozwiązania wynika, że $a_n = b_n = c_n = d_n = 0$ dla $n \geq 2$ . Jednak liczby $a_1$ , $b_1$ , $c_1$ , $d_1$ mogą byc rożne od zera. Wystarczy mianowicie przyjąć $a_1 = c_1 = t$ , $b_1 = d_1 = -t$ , gdzie $t$ jest dowolną liczbą, i wtedy będą spełnione warunki zadania.

Uwaga 2: Zadanie to można uogólnić na przypadek, gdy danych jest $m$ ciągów okresowych $(a_n^{(k)})$ , $k = 1, 2, \ldots, m$ spełniających warunek:

$ a_{n+1}^{(1)} = a_{n}^{(1)} + a_{n}^{(2)}, a_{n+1}^{(2)} = a_{n}^{(2)} + a_{n}^{(3)}, \ldots, a_{n+1}^{(m-1)} = a_{n}^{(m-1)} + a_{n}^{(m)}, a_{n+1}^{(m)} = a_{n}^{(m)} + a_{n}^{(1)}. $

Jeżeli liczba $m$ nie jest podzielna przez $3$ , to rozumując podobnie, jak w powyższym rozwiązaniu, można udowodnić, że:
1) Jeżeli $m$ jest liczbą nieparzystą, to pierwsze wyrazy tych ciągów są równe zeru,
2) Jeżeli $m$ jest liczbą parzystą, to drugie wyrazy tych ciągów są równe zeru.

Jeżeli zaś liczba $m$ jest podzielna przez $3$ , to sytuacja jest zupehnie inna: Istnieją, ciągi o wyrazach różnych od zera spełniające warunki tego ogólniejszego zadania.

Na przykład niech $m = 3$ . Podamy trzy ciągi $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ okresowe o okresie długości $6$ i takie, że

$ (3) \qquad a_{n+1} = a_n + b_n, \quad b_{n+1} = b_n + c_n, \quad c_{n + 1} = c_n + a_n. $

Niech $u$ i $v$ będą dowolnymi liczbami. Pierwszych sześć wyrazów każdego z ciągów $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ podajemy w tabelce:

$ \begin{array}{c|ccccccccccc} \hline \\ a_n & u &, & v &,& v-u &,& -u &,& -v &,& u-v \\ b_n & v-u &,& -u &,& -v &,& u-v &,& u &,& v \\ c_n & -v &,& u-v &,& u &,& v &,& v-u &,& -u \\ \hline \end{array} $

Nietrudno sprawdzić, że spełniony jest warunek (3), a dobierając odpowiednio liczby $u$ i $v$ (np. $u = 1$ , $v = 2$ ) otrzymujemy ciągi o wszystkich wyrazach różnych od zera.