XXVII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

III

Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie danym czworościanem. Na półprostych $AB^\to$ , $AC^\to$ i $AD^\to$ odpowiednio znajdujemy takie punkty $B'$ , $C'$ i $D'$ , że (1) $AB' = AC \cdot AD$ , $AC' = AB \cdot AD$ , $AD' = AB \cdot AC$ , (rys. 15). Wykażemy, że trójkąt $B'C'D'$ spełnia warunki zadania.

Przede wszystkim z (1) wynika, że

$ \frac{AB'}{AC'} = \frac{AC}{AB}. $

Wobec tego trójkąty $ABC$ i $AC'B'$ ,ające wspólny kąt $BAC$ są podobne. Stąd

$ \frac{BC}{C'B'} = \frac{AB}{AC'}, $

czyli na mocy (1)

$ B'C' = \frac{BC}{AB} \cdot AC' = BC \cdot AD, $

tzn. bok $\overline{B'C'}$ trójkąt $B'C'D'$ ma długość równą iloczynowi długości skośnych krawędzi $\overline{BC}$ i $\overline{AD}$ czworościanu $ABCD$ .

Rozpatrując podobnie trójkąty $ACD$ i $AD'C'$ oraz $ABD$ i $AD'B'$ stwierdzamy, że $C'D' = CD \cdot AB$ oraz $B'D' = BD \cdot AC$ . Istotnie więc trójkąt $B'C'D'$ spełnia warunki zadania.

Uwaga: Powyższe rozumowanie można też przeprowadzić w przypadku, gdy czworościan $ABCD$ degeneruje się do czworokąta płaskiego $ABCD$ . Wtedy jednak punkty $B'$ , $C'$ , $D'$ mogą należeć do jednej prostej. W wyniku takiego rozumowania otrzymujemy, że w dowolnym czworokącie płaskim iloczyn długości przekątnych nie przekracza sumy iloczynów długości przeciwległych boków. Pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie przeprowadzenie szczególowego dowodu.