XXVII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

III

Przekątne pewnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki mają długości $a, b, c, d$ , są prostopadłe. Udowodnić, że przekątne dowolnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki maj, długości $a, b, c, d$ , są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ i $A'B'C'D'$ będą czworokątami płaskimi, których kolejne boki mają długości $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tzn. niech

$ \begin{split} & \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{DA}, \\ &\overrightarrow{a'} = \overrightarrow{A'B'},\ \overrightarrow{b'} = \overrightarrow{B'C'},\ \overrightarrow{c'} = \overrightarrow{C'D'},\ \overrightarrow{d'} = \overrightarrow{D'A'}, \end{split} $

oraz

$ \overrightarrow{a^2} = \overrightarrow{a'^2} = a^2,\ \overrightarrow{b^2} = \overrightarrow{b'^2} = b^2,\ \overrightarrow{c^2} = \overrightarrow{c'^2} = c^2,\ \overrightarrow{d^2} = \overrightarrow{d'^2} = d^2. $

Mamy też $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} =0$ i $\overrightarrow{a'} + \overrightarrow{b'} + \overrightarrow{c'} + \overrightarrow{d'} =0$ .
Obliczamy, że

$ \begin{split} d^2 & = \overrightarrow{d^2} = (-\overrightarrow{d})^2 = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})^2 = \overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}^2 + \overrightarrow{c}^2 + 2 \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c} + 2 \overrightarrow{c}\overrightarrow{a} = \\ & = \overrightarrow{a}^2 - \overrightarrow{b}^2 + \overrightarrow{c}^2 + 2 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})= a^2 - b^2 + c^2 + 2 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}). \end{split} $

Stąd mamy

$ (1) \qquad (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (b^2 + d^2 - a^2 - c^2). $

Analogicznie dowodzimy, że

$ (2) \qquad (\overrightarrow{a'} + \overrightarrow{b'}) (\overrightarrow{b'} + \overrightarrow{c'}) = \frac{1}{2} ((b^2 + d^2 - a^2 - c^2). $

Wektory $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}$ są przekątnymi czworokąta $ABCD$ , a wektory $\overrightarrow{a'} + \overrightarrow{b'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{A'C'}$ i $\overrightarrow{b'} + \overrightarrow{c'} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{B'D'}$ - przekątnymi czworokąta $A'B'C'D'$ . Z (1) i (2) wynika więc, że iloczyn skalarny wektorów przekątnych czworokąta $ABCD$ jest równy iloczynowi skalarnemu wektorów przekątnych czworokąta $A'B'C'D'$ . Ponieważ iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopadłe, więc wynika stąd teza zadania.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a także punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ należą do jednej płaszczyzny.