XXVII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

III

Statek łowi ryby na wodach terytorialnych obcego państwa, nie mając na to pozwolenia. Każde zarzucenie sieci przynosi połów tej samej wartości. Podczas kolejnego zarzucania sieci prawdopodobieństwo %przychwycenia statku przez straż graniczną wynosi $\frac{1}{k}$ gdzie $k$ jest ustaloną liczbą naturalną. Zakładamy, że zdarzenie polegające na złapaniu lub niezłapaniu statku przy kolejnym zarzuceniu sieci jest niezależne od dotychczasowego przebiegu połowu. W razie przechwycenia przez straż graniczną, całość dotychczas złowionych ryb ulega konfiskacie i dalszy polów jest niemożliwy. Kapitan planuje powrót po $n$ -tym zarzuceniu sieci. Przy uwzględnieniu ryzyka złapania statku zysk z połowa jest zmienną losową. Znaleźć liczbę $n$ , przy której wartość oczekiwana zysku jest maksymalna.

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że statek nie zostanie przychwycony przy pewnym zarzuceniu sieci jest równe $1 - \frac{1}{k}$ . Ponieważ zdarzenia polegające na złapaniu lub niezłapaniu statku przy kolejnym zarzuceniu sieci są niezależne, więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy $m$ -krotnym zarzucaniu sieci statek nie zostanie przychwycony, jest równe $\left( 1 - \frac{1}{k} \right)^n$ . Wartość oczekiwana zysku przy $n$ -krotnym zarzucaniu sieci jest więc równa

$ (1) \qquad f(n) = w n \left( 1 - \frac{1}{k} \right)^n, $

gdzie $w$ jest wartością zysku przy jednym zarzuceniu sieci.

Zadanie polega wiec na tym, by zbadać, dla jakiej liczby naturalnej $n$ funkcja $f$ przybiera wartość maksymalną.

Z (1) wynika, że

$ \begin{split} f(n + 1)& = w(n + 1)\left( 1 - \frac{1}{k} \right)^{n+1}= w n \left( 1 - \frac{1}{k} \right)^{n} \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \left( \frac{n+1}{n} \right)= \\ & = f(n) \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = f(n) \left( 1 + \frac{(k-1)-n}{kn} \right). \end{split} $