XXVII OM - III - Zadanie 6

Etap:

III

Funkcja rosnąca $f$ określona na zbiorze liczb naturalnych spełnia następujący warunek

$ f(k\cdot l)=f(k)+f(l) $

dla dowolnej pary liczb naturalnych $(k, l)$ .
Udowodnić, że istnieje taka liczba rzeczywista $p > 1$ , że

$ f(n) = \log_p n \quad \text{ dla } $n = 1, 2, 3, \ldots$. $

Rozwiązanie

Ze wzoru $f(k \cdot l)=f(k) + f(l)$ przez indukcję łatwo wynika, że

$ (1) \qquad f(m^s) = sf(m) $

dla dowolnych liczb naturalnych $m$ i $s$ . Stąd w szczególności otrzymujemy $f(1) =f(1^2) = 2f(1)$ , czyli $f(1)=0$ . Ponieważ funkcja $f$ jest rosnąca, więc wynika stąd, że $f(2) >f(1) = 0$ .

Określamy liczbę $p$ wzorem $\log_p 2=f(2)$ , tzn. $p^{f(2)} = 2$ , czyli
$p = \sqrt[f(2)]{2}$ . Wobec tego $p > 1$ .

Dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 2$ istnieje taka liczba naturalna $r$ , że

$ (2) \qquad 2^r <\leq n < 2^{r+1}. $

Logarytmując (2) przy podstawie $p$ otrzymujemy

$ r \log_p 2 \leq \log_p n < (r + 1) \log_p 2, $

czyli

$ (3) \qquad rf(2) \leq \log_p n \leq rf(2) + f(2). $

Ponieważ funkcja $f$ jest rosnąca, więc z (2) wynika, że

$ f(2^r) \leq f(n) < f(2^{r+1}). $

Stąd na mocy (1) otrzymujemy

$ (4) \qquad rf(2) \leq f(n) < (r + 1)f(2) = rf(2) + f(2). $

Z (3) i (4) wynika, że liczby $\log_p n$ i $f(n)$ należą do tego samego przedziału długości $f(2)$ . Wobec tego

$ (5) \qquad -f(2) < f(n) - \log_p n < f(2), $

dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ . Podstawiając w (5) w szczególności na miejsce $n$ liczbę $n^k$ , gdzie $n \geq 2$ i $k$ jest dowolną liczbą naturalną otrzymujemy na mocy (1)

$ -f(2) < k f(n) - k \log_p n < f(2), $

czyli

$ (6) \qquad - \frac{f(2)}{k} < f(n)- \log_p n < \frac{f(2)}{k} $

dla $k = 1, 2, \ldots$ . Przechodząc w (6) do granicy, gdy $k \to \infty$ , otrzymujemy, że $f(k) = \log_p n$ dla $n \geq 2$ . Dla $n = 1$ również mamy $f(1) = 0 = \log_p 1$ .

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że $n$ jest liczbą naturalną. Rozumując podobnie można więc udowodnić, że każda funkcja rosnąca $f$ spełniająca warunek $f(k \cdot l) = f(k) + f(l)$ określona w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich ma postać

$ f(x) = \log_p x,\ \textrm{gdzie}\ p > 1. $