XXVI - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

W czworokącie płaskim wypukłym $ABCD$ wybrano na bokach przeciwległych $\overline{AB}$ i $\overline{GD}$ punkty $P$ i $B$ , zaś na bokach przeciwległych $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ punkty $Q$ i $S$ w ten sposób, że $\frac{AP}{PB} = \frac{DR}{RC} = a$ , $\frac{AQ}{QD} = \frac{BS}{SC} = b$ . Dowieść, że jeżeli $O$ jest punktem przecięcia odcinków $\overline{PR}$ i $\overline{QS}$ , to $\frac{PO}{OR} = b$ oraz $\frac{QO}{OS} = a$ .

Rozwiązanie

Umieszczamy w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ masy odpowiednio $1$ , $a$ , $ab$ , $b$ i obliczamy środek ciężkości $T$ układu $U$ złożonego z tych czterech punktów.

Z warunków zadania wynika, że środkami ciężkości układów $\{A, B\}$ i $\{C, D\}$ są odpowiednio punkty $P$ i $R$ . Środek ciężkości $T$ układu $U$ jest więc środkiem ciężkości układu punktów $P$ i $R$ opatrzonych masami $1+a$ i $b(1+a)$ odpowiednio. Zatem $T$ jest takim punktem odcinka $\overline{PR}$ , że $\displaystyle \frac{PT}{TR}= b$ .

Analogicznie stwierdzamy, że środkami ciężkości układów $\{A, D\}$
i $\{B, C\}$ są odpowiednio punkty $Q$ i $S$ . Zatem środek ciężkości $T$ układu $U$ jest środkiem ciężkości układu punktów $Q$ i $S$ opatrzonych masami $1 + b$ i $a(1+b)$ odpowiednio. Wobec tego $T$ jest takim punktem odcinka $\overline{QS}$ , że $\displaystyle \frac{QT}{TS}=a$ .

Wynika stąd, że punkt $O$ jest równy $T$ i spełnia warunki zadania.