XXVI - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Dowieść, że dla każdego naturalnego $n$

$ \sum_{j=0}^{n-1} \left| \cos \frac{j\pi}{n}\right| \geq \frac{n}{2}. $

Rozwiązanie

Składniki sumy odpowiadające $j = 1$ i $j = n-1$ są równe. Analogicznie równe są składniki odpowiadające $j = 2$ i $j = n-2$ itd. Ponadto, gdy $n$ jest liczbą parzystą, to składnik odpowiadający $\displaystyle j - \frac{n}{2}$ jest równy zeru. Zatem dana suma jest równa

$ (1) \qquad S= 1 + 2 \sum_{j=1}^w \cos \frac{j}{n} \pi, $

gdzie $\displaystyle w= \left[ \frac{n}{2} \right]$ . Wykres funkcji $\cos x$ w przedziale $\displaystyle \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle$ jest zwrócony wypukłością do góry. Wykres ten leży więc w tym przedziale powyżej wykresu prostej $\displaystyle y = 1 - \frac{2}{\pi}x$ łączącej punkty $(0, 1)$ i $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right)$ . Stąd

$ (2) \qquad \cos x \geq 1 - \frac{2}{\pi} x \ \textrm{dla} \ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}. $

Z (1) i (2) wynika, że

$ S \geq 1 + 2 \sum_{j=1}^w \left( 1 - \frac{2}{\pi} \cdot \frac{j}{n} \pi \right) = 1+2w - \frac{4}{n} \sum_{j=1}^w j = 2w + 1 - \frac{4}{n} \cdot \frac{w(w+1)}{2}. $

Jeżeli $n = 2w$ , to ostatnie wyrażenie jest równe $\displaystyle \frac{n}{2}$ . Jeżeli zaś $n = 2w+1$ , czyli $\displaystyle w =\frac{n-1}{2}$ to jest ono równe $\displaystyle \frac{n}{2} + \frac{1}{2n}$ . W każdym więc przypadku badana suma jest nie mniejsza od $\displaystyle \frac{n}{2}$ .