XXVI - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Dane są parami rozłączne kule $K_1, K_2, K_3$ o promieniach parami różnych. Niech $A_{ij}$ będzie wierzchołkiem, stożka opisanego na kulach $K_i$ i $K_j$ . Dowieść, że punkty $A_{12}$ , $A_{23}$ , $A_{31}$ są współliniowe.

Rozwiązanie

Jeżeli $A$ jest wierzchołkiem stożka opisanego na kulach $K$ i $L$ o promieniach różnej długości, to istnieje dokładnie jedna taka jednokładność $j$ , że $j(K) = L$ . Jej wierzchołkiem jest punkt $A$ , a współczynnikiem - stosunek długości promieni kul $L$ i $K$ .

Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że długości promieni kul $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ tworzą ciąg rosnący. Niech $s$ i $t$ będą takimi jednokładnościami, że $s(K_1) = K_2$ i $t(K_2) = K_3$ . Wtedy $ts(K_1) = K_3$ . Dla rozwiązania zadania wystarczy więc udowodnić, że złożenie $ts$ jednokładności $t$ i $s$ o współczynnikach większych od $1$ jest jednokładnością i środki jednokładności $t$ , $s$ i $ts$ są współliniowe.

Obierzmy tak układ współrzędnych, by środkiem jednokładności $s$ był punkt $(0, 0, 0)$ , a środkiem jednokładności $t$ - punkt $(a, 0, 0)$ .

Wtedy $s(x, y, z) = (kx, ky, kz)$ , $t(x, y, z) = (mx - am + a, my, mz)$ , gdzie $k, m > 1$ . Obliczamy, że $ts(x,y, z) = t(kx, ky, kz) = (mkx- am+a, kmy, kmz)$ .

Zatem $ts$ jest jednokładnością o środku $\displaystyle\left(\frac{a(m-1)}{mk-1}, 0, 0\right)$ . Środki jednokładności $s$ , $t$ i $ts$ są więc współliniowe.