XXVI - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $m$ , dla których wielomian $x^3-mx^2+mx-(m^2+1)$ ma pierwiastek całkowity.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $x$ i $m$ spełniają równanie $x^3 - mx^2+mx-(m^2+1) = 0$ , czyli $(x^2+m)(x-m) = 1$ . Wtedy $x^2+m = 1$ i $x- m = 1$ lub $x^2+m = -1$ i $x-m = -1$ . Dodając w każdym z tych układów równania stronami otrzymujemy $x^2+x = 2$ lub $x^2+x = - 2$ . Pierwiastkami pierwszego równania są liczby $x = 1$ i $x = -2$ . Odpowiadają im liczby $m = 0$ i $m = - 3$ . Drugie równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.