XXVI - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ . Dopisujemy do niego na zewnątrz dwa trójkąty równoboczne $ABC'$ i $ACB'$ . Niech $K$ i $L$ będą środkami boków $\overline{AC'}$ i $\overline{B'C}$ odpowiednio, a $M$ - takim punktem odcinka $\overline{BC}$ , że $BM = 3MC$ .
Udowodnić, że kąty trójkąta $KLM$ są równe $90^\circ$ , $60^\circ$ , $30^\circ$ .

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że kąt $\measuredangle KAL$ jest rozwarty. Obieramy tak układ współrzędnych, by punkty $K$ , $L$ i $A$ miały następujące współrzędne $K = (-a, 0)$ , $L = (b, 0)$ , $A = (0, -c)$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ są pewnymi liczbami dodatnimi (rys. 8). Wyznaczymy współrzędne punktów $B$ , $C$ i $M$ .

Punkt $B$ należy do prostej zawierającej punkt $K$ i prostopadłej do $\overline{AK}$ . Równaniem tej prostej jest $ax- cy + a^2 = 0$ . Mamy ponadto $\displaystyle \frac{BK}{AK} = \tan \frac{\pi}{3}$ , czyli $(x+a)^2 + y^2 = 3(a^2 + c^2)$ . Rozwiązując ten układ równań znajdujemy współrzędne punktu $B$ : $B= (c\sqrt{3}-a, a\sqrt{3})$ .

Punkt $G$ należy do prostej zawierającej punkt $L$ i prostopadłej do $\overline{AL}$ . Równaniem tej prostej jest $bx+ cy- b^2 = 0$ . Ponadto mamy
$\displaystyle \frac{CL}{AL} = \tan \frac{\pi}{6}$ , czyli $(x- b)^2+y^2 = \frac{1}{3} (b^2+c^2)$ . Rozwiązując ten układ równań znajdujemy współrzędne punktu $C$ : $\displaystyle C = \left( b-c \frac{\sqrt{3}}{3}, b \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$ .

Ponieważ punkt $M$ należy do odcinka $\overline{BC}$ i $BM = 3MC$ , więc
$\displaystyle M = \frac{1}{4} B + \frac{3}{4} C = \left( \frac{1}{4} (3b-a), \frac{\sqrt{4}}{4} (a+b) \right)$ . Sprawdzamy bez trudu, że $\overline{KM} \bot \overline{ML}$ i $\displaystyle \frac{KM}{ML} = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3}$ . Wynika stąd teza zadania.