XXVI - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n}\log \binom{2^n}{n} $

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $n$ , gdzie $n \leq k$ , mamy

$ \binom{k}{n} = \frac{k(k-1) \ldots (k-n+1)}{n!} \leq \frac{k^n}{n!} \leq k^n. $

W szczególności $\displaystyle \binom{2^n}{n} \leq (2^n)^n = 2^{n^2}$ . Na mocy wzoru dwumianowego mamy

$ 2^{n+2} = (1+1)^{n+2} = \sum_{j=0}^{n+2} \binom{n+2}{j} \geq \binom{n+2}{3} = \frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n}{6} > \frac{n^3}{6} $

i stąd $\displaystyle 2^n > \frac{n^2}{24}$ . Wobec tego

$ 0 \leq \frac{1}{2^n} \log \binom{2^n}{n} < \frac{24}{n^3} \log 2^{n^2} = \frac{24 n^2 \log 2}{n^3} = \frac{1}{n} 24 \log 2. $

Ponieważ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}= 0$ , więc wynika stąd, że $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \log \binom{2^n}{n}= 0$ .