XXVI - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Niech $\alpha$ będzie liczbą niewymierną, $A_1$ - punktem okręgu $S$ o środku $O$ . Rozważmy ciąg nieskończony $A_n$ punktów okręgu $S$ , w którym punkt $A_{k+1}$ jest obrazem punktu $A_k$ w obrocie dookoła punktu $O$ o kąt $\alpha m$ . Dowieść, że każdy łuk okręgu $S$ zawiera pewne punkty ciągu $A_n$ .

Rozwiązanie

Gdyby dla pewnych liczb naturalnych $k$ i $n$ , gdzie $k \ne n$ , było $A_k = A_n$ , to obroty o kąty $(k- 1) \alpha \pi$ i $(n-1)\alpha \pi$ byłyby równe. Wtedy liczby $(k- 1) \alpha \pi$ i $(n- 1) \alpha \pi$ różniłyby się o całkowitą wielokrotność liczby $2\pi$ , tzn. $(n- k) \alpha \pi = 2m\pi$ , gdzie $m$ jest pewną liczbą całkowitą. Stąd $\displaystyle \alpha = \frac{2m}{n-k}$ , co przeczy niewymierności liczby $\alpha$ . Wobec tego wszystkie wyrazy ciągu $(A_n)$ są różne.

Niech $L$ będzie łukiem długości $d$ zawartym w okręgu $S$ o promieniu długości $r$ . Niech $t$ będzie liczbą naturalną większą od $\displaystyle \frac{2\pi r}{d}$ . Dzieląc okrąg $S$ na $t$ równych łuków o długości $\displaystyle \frac{2\pi r}{t}$ stwierdzamy, że istnieje wśród nich łuk zawierający co najmniej dwa z punktów $A_1, A_2, \ldots, A_{t+1}$ . Niech będą to punkty $A_i$ $A_j$ , gdzie $i < j$ . Wtedy łuk $\widehat{A_iA_j}$ ma długość nie większą niż $\displaystyle \frac{2\pi r}{t}$ . Ponieważ $\displaystyle t > \frac{2\pi r}{t}$ , więc $\displaystyle \frac{2\pi r}{t} < d$ i wobec tego długość łuku $\widehat{A_iA_j}$ jest mniejsza od $d$ . Wynika stąd, że obrót o kąt $(j-i) \alpha \pi$ przeprowadza punkt $A_i$ na $A_j$ i ogólnie - punkt $A_{i+n}$ na $A_{j+n}$ dla $n = 0, 1, 2, \ldots$ . Wobec tego kolejne wyrazy podciągu $A_1, A_{1 + (j-i)}, A_{1+2(j-i)}, \ldots$ wyznaczają łuki o długości $\displaystyle \leq \frac{2\pi r}{t}$ mniejszej od $d$ . Pewien wyraz tego podciągu należy więc do łuku $L$ o długości $d$ .