XXVI - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Statek porusza się ze stałą prędkością po prostej o kierunku wschód-zachód. Co $T$ minut losuje się kierunek poruszania: z prawdopodobieństwem $p$ statek porusza się w ciągu następnych $T$ minut w kierunku wschodnim, z prawdopodobieństwem $q= 1-p$ porusza się w kierunku zachodnim. W punkcie poza prostą znajduje się łódź podwodna, której zadaniem jest storpedowanie statku. Czas drogi torpedy od punktu wystrzelenia do dowolnego punktu toru statku wynosi $2T$ . Kapitan łodzi podwodnej zna wartość $p$ i celuje tak, aby prawdopodobieństwo trafienia statku było największe. Jak należy dobrać $p$ , aby prawdopodobieństwo storpedowania statku było najmniejsze ?

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że łódź podwodna wystrzeli torpedę, w chwili gdy na statku odbywa się losowanie. W przypadku wystrzelenia torpedy w innej chwili rozumowanie przebiega podobnie. Możemy też przyjąć, bez zmniejszenia ogólności, że $p \geq q$ , tzn. $\displaystyle p \geq \frac{1}{2}$ . Po $T$ minutach od chwili wystrzelenia torpedy odbywa się następne losowanie. Wyniki tych dwóch losowań mogą być następujące: wschód-wschód, wschód-zachód, zachód-wschód, zachód-zachód z prawdopodobieństwami odpowiednio $p^2$ , $pq$ , $qp$ , $q^2$ . W pierwszym przypadku po upływie $2T$ minut od chwili wystrzelenia torpedy statek będzie się znajdował w punkcie $A$ na wschód od punktu początkowego $O$ , w drugim i w trzecim przypadku - w punkcie $O$ , a w ostatnim przypadku - w punkcie $B$ na zachód od $O$ . Prawdopodobieństwo zdarzenia, że statek znajdzie się w tym czasie w punkcie $A$ , $O$ , $B$ jest wiec równe odpowiednio $p^2$ , $2pq$ , $q^2$ .

Mamy zbadać, która z tych liczb jest największa. Ponieważ $p \geq q$ , więc $p^2 \geq q^2$ . Nierówność $p^2 > 2pq$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $p > 2q$ . Zatem, jeżeli $p > 2q$ , tzn. $\displaystyle p > \frac{2}{3}$ , to z tych trzech liczb największą jest $p^2$ i wobec tego torpeda powinna być wystrzelona
w kierunku punktu $A$ . Jeżeli zaś $2q > p \geq q$ , tzn. $\frac{2}{3} > p \geq \frac{1}{2}$ , to liczba $2pq$ jest największa i torpeda powinna być wystrzelona w kierunku punktu $O$ . Dla $\displaystyle p = \frac{2}{3}$ mamy $p^2 = 2pq > q^2$ i wobec tego można strzelać w kierunku punktu $A$ lub $O$ z jednakowym prawdopodobieństwem trafienia. Prawdopodobieństwo trafienia $f(p)$ równe jest więc

$ f(p) = \left\{\ \begin{array}{ccc} p^2 & \textrm{dla} & p \geq \frac{2}{3}\\ 2p(1-p) & \textrm{dla} & \frac{1}{2} \leq p < \frac{2}{3}. \end{array} \right. $

Funkcja $f(p)$ jest rosnąca w przedziale $\displaystyle \langle \frac{2}{3};\ 1 \rangle$ malejąca w przedziale $\displaystyle \langle \frac{1}{2};\ \frac{2}{3} \rangle$ . Zatem najmniejsze prawdopodobieństwo trafienia jest przy $\displaystyle p = \frac{2}{3}$ . Wynosi ono $\displaystyle \frac{4}{9}$ .