XXVI - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

W przestrzeni dany jest sześcian o boku $a$ , i kule $B_1, B_2, \ldots, B_n$ o dowolnych promieniach takie, że każdy punkt sześcianu należy do którejś z kul. Udowodnić, że spośród tych kul można wybrać parami rozłączne kule takie, że suma ich objętości jest nie mniejsza od $\left(\frac{a}{5}\right)^3$ .

Rozwiązanie

Przez indukcję ze względu na $N$ udowodnimy

Twierdzenie. Jeżeli dany jest w przestrzeni zbiór $F$ o objętości $V$ zawarty w sumie $N$ kul otwartych $B_1, B_2, \ldots, B_N$ , to istnieje taki
podzbiór $B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r}$ tego zbioru kul, że kule należące do tego podzbioru są parami rozłączne oraz suma objętości kul $B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r}$ jest większa od $\displaystyle \frac{1}{27} V$ .

Dowód. Jeżeli $N = 1$ , to twierdzenie jest oczywiste. Kula $B_1$ zawiera figurę $F$ o objętości $V$ . Wtedy objętość kuli $B_1$ jest nie mniejsza od $V$ , a więc jest większa od $\displaystyle \frac{1}{27} V$ .

Załóżmy z kolei, że powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej $N$ . Udowodnimy je dla liczby $N+1$ . Niech więc zbiór $F$ o objętości $V$ będzie zawarty w sumie kul $B_1, B_2, \ldots, B_N, B_{N+1}$ . Możemy przyjąć, że objętość $V_{N+1}$ kuli $B_{N+1}$ jest nie mniejsza od objętości każdej z pozostałych kul. Niech $B'$ będzie kulą o tym samym środku, co kula $B_{N+1}$ i o promieniu długości $3r$ , gdzie $r$ jest długością promienia kuli $B_{N+1}$ . Wtedy objętość $V'$ kuli $B'$ jest równa $27 V_{N+1}$ . Niech $V_0$ będzie objętością zbioru $F_0 = F-B'$ . Ponieważ zbiory $F_0$ i $B'$ są rozłączne i $F$ jest zawarty w sumie zbiorów $F_0$ i $B'$ , więc $V \leq V_0 + 27 V_{N+1}$ .

Każdy punkt zbioru $F_0$ należy do co najmniej jednej z kul $B_1, B_2, \ldots, B_N$ . Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że dla pewnego $k, 0 \leq k \leq N$ każda z kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ ma punkt wspólny ze zbiorem $F_0$ , a każda z kul $B_{k+1}, B_{k+2}, \ldots, B_N$ jest rozłączna z $F_0$ . Wtedy zbiór $F_0$ jest zawarty w sumie kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ .

Odległość środka kuli $B_{N+1}$ od dowolnego punktu zbioru $F_0$ jest nie mniejsza od $3r$ . Zatem odległość dowolnego punktu kuli $B_{N+1}$ od dowolnego punktu zbioru $F_0$ jest nie mniejsza od $2r$ . Średnica każdej z kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ jest nie większa od średnicy kuli $B_{N+1}$ , tzn. od $2r$ . Wobec tego każda z kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ jest rozłączna z kulą $B_{N+1}$ . Liczba kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ jest nie większa od $N$ . Na mocy założenia indukcyjnego istnieje więc taki podzbiór $B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r}$ zbioru kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ , że kule należące do tego podzbioru są parami rozłączne, a suma ich objętości jest większa od $\displaystyle \frac{1}{27} V_0$ , a więc - większa od $\displaystyle \frac{1}{27} V - V_{N+1}$ . Ponieważ kula $B_{N+1}$ jest rozłączna z każdą z kul $B_1, B_2, \ldots, B_k$ , więc tym bardziej kule $B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r}$ są parami rozłączne. Suma ich objętości jest większa od $\displaystyle \left( \frac{1}{27} V - V_{N+1} \right) + V_{N+1} = \frac{1}{27} V$ .