XXVI - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Dany jest wielomian $W(x) = x^4 + ax^3 + bx + cx + d$ . Dowieść, że jeżeli równanie $W(x) = 0$ ma cztery pierwiastki rzeczywiste, to na to, żeby istniało $m$ takie, że $W(x+m) = x^4+px^2+q$ , potrzeba i wystarcza, aby suma pewnych dwóch pierwiastków równania $W(x) = 0$ równała się sumie pozostałych.

Rozwiązanie

Jeżeli pierwiastkami wielomianu $W (x)$ są liczby $x_1, x_2, x_3, x_4$ oraz

$ (1) \qquad x_1+x_2= x_3 + x_4, $

to przyjmując $\displaystyle m = \frac{1}{2} (x_1 + x_2)$ otrzymujemy, że pierwiastkami wielomianu $W(x+m)$ są liczby $y_i = x_i-m$ dla $i = 1, 2, 3, 4$ , czyli - liczby

$ \begin{array}{cc} y_1 = x_1-m = \frac{1}{2} (x_1 - x_2), & y_2 = x_2-m = \frac{1}{2} (x_2 - x_1), \\ y_3 = x_3-m = \frac{1}{2} (x_3 - x_4), & y_4 = x_4-m = \frac{1}{2} (x_4 - x_3). \end{array} $

Zatem

$ (2) \qquad y_2 = -y_1 \ \textrm{i} \ y_4 = -y_3. $

Wynika stąd, że

$ W(x+m) = (x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)(x-y_4) = (x^2-y^2_1)(x^2-y^2_3) = = x^4 - (y^2_1 + y^2_3) + y_1^2 y^2_3. $

Wykazaliśmy więc, że jeżeli pierwiastki wielomianu $W$ spełniają zależność (1), to dla $\displaystyle m = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$ zachodzi $W(x+m) = x^4 + px^2 + q$ , gdzie $\displaystyle p = - \frac{1}{4} (x_1-x_2)^2- \frac{1}{4} (x_3-x_4)^2$ , $\displaystyle q= \left[ \frac{1}{4}(x_1-x_2)(x_3- x_4) \right]^2$ .

Udowodnimy z kolei implikację odwrotną. Jeżeli liczba rzeczywista jest pierwiastkiem wielomianu $x^4 + px^2 + q$ , to jego pierwiastkiem jest też oczywiście liczba przeciwna. Zatem, jeżeli dla pewnej liczby rzeczywistej $m$ wielomian $W (x+m)$ ma postać $x^4 + px^2 + q$ , to jego pierwiastki $y_1, y_2, y_3, y_4$ spełniają równości (2). Pierwiastkami wielomianu $W(x)$ są liczby $x_i = y_i + m$ , gdzie $i = 1, 2, 3, 4$ . Z (2) otrzymujemy więc że $x_1 + x_2 = y_1 + m + (-y_1) + m= 2m$ i podobnie $x_3 + x_4 = y_3 + m + (-y_3)+m = 2m$ . Wobec tego zachodzi równość (1).

Uwaga. Nietrudno zauważyć, że istnieje tylko jedna liczba $m$ spełniająca warunki zadania. Jeżeli bowiem $f(x) = x^4 + px^2 + q$ , to dla $k \ne 0$ wielomian $f(x+k)$ ma współczynnik przy $x^3$ równy $4k$ , a więc różny od zera.