XXVI - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXVI OM, 1984-1985

Etap:

W czworokącie wypukłym $ABCD$ na, bokach przyległych $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ obrano odpowiednie punkty $M$ i $N$ oraz oznaczono przez 0 punkt przecięcia odcinków $AN$ i $GM$ . Dowieść, że jeżeli w czworokąty $AOCD$ oraz $BMON$ można wpisać koła, to w czworokąt $ABCD$ też można wpisać koło.

Rozwiązanie

Niech $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ będą punktami styczności koła wpisanego w czworokąt $AOCD$ z bokami $\overline{AO}$ , $\overline{OC}$ , $\overline{CD}$ , $\overline{DA}$ odpowiednio i podobnie $E$ , $F$ , $G$ , $H$ - punktami styczności koła wpisanego w czworokąt $BMON$ z bokami $\overline{MB}$ , $\overline{BN}$ , $\overline{NO}$ , $\overline{OM}$ odpowiednio (rys. 9). Korzystając z twierdzenia: odcinki stycznych do koła poprowadzonych z punktu poza kołem mają równe długości, otrzymujemy kolejno:

$<br /> AS = AP = AG-OG-OP = AE-OH-OQ = AE-CH+CQ = AE-CF+CR,<br />$

czyli $AS + CF = AE + CR$ . Analogicznie dowodzimy, że $DS+BF = DR+BE$ . Dodając dwie ostatnie równości stronami otrzymujemy $AD+BC = AB+CD$ . Wynika stąd, jak wiadomo, że w czworokąt $ABCD$ można wpisać koło.