LVIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Wielomian $W$ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $\langle a;b\rangle$ (gdzie ${a<b}$ ) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $P$ oraz $Q_1,Q_2,\ldots,Q_m$ , że

$ W(x)=P(x)^2+(x-a)(b-x)\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2 $

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

Rozwiązanie

Dowód przeprowadzimy indukcyjnie ze względu na stopień wielomianu $W$ .

Jeżeli $W(x)\equiv c$ jest wielomianem stałym, to oczywiście $c>0$ i w tym przypadku można przyjąć $P(x)\equiv\root\of{c}$ , $m=1$ i $Q_1(x)\equiv 0$ .

Przypuśćmy teraz, że teza zadania jest prawdziwa dla wszystkich wielomianów stopnia mniejszego niż $n$ i niech $W$ będzie wielomianem stopnia $n$ .

Funkcja

$ f(x)={W(x)\over (x-a)(b-x)}\ , $

rozważana w przedziale $(a;b)$ , jest ciągła i przyjmuje w nim wartości dodatnie, które przy końcach przedziału dążą do nieskończoności. Zatem w pewnym punkcie (niekoniecznie jednym) funkcja $f$ osiąga swoją wartość minimalną $c$ ; jest to liczba dodatnia.

Zachodzi wobec tego nierówność $f(x)\geq c$ , czyli $W(x)\geq c(x-a)(b-x)$ dla $x\in\langle a;b\rangle$ , która w pewnym punkcie (punktach) staje się równością. Mówiąc obrazowo, $c$ jest liczbą, dla której parabola $y=c(x-a)(b-x)$ w przedziale $\langle a;b\rangle$ jest ,,styczna od dołu'' do wykresu wielomianu $W$ na tym przedziale, być może w kilku punktach (rys. 7). Tak więc wielomian $G(x)=W(x)-c(x-a)(b-x)$ w badanym przedziale przyjmuje wartości nieujemne i posiada przynajmniej jeden pierwiastek (rys. 8).

Zauważmy, że $G(a)=W(a)$ i $G(b)=W(b)$ , a więc wielomian $G$ na końcach przedziału przybiera wartości dodatnie. Zatem pierwiastki wielomianu $G$ w przedziale $(a,b)$ mają parzystą krotność. Istnieją zatem takie liczby (niekoniecznie różne) $g_1,g_2,\ldots, g_k\in(a,b)$ , że wielomian $G$ ma postać

$G(x)=(x-g_1)^2(x-g_2)^2...(x-g_k)^2H(x),$

przy czym wielomian $H$ w przedziale $\langle a;b\rangle$ przyjmuje tylko wartości dodatnie. Oznaczmy $B(x)=(x-g_1)(x-g_2)...(x-g_k)$ ; mamy więc $G(x)=B(x)^2H(x)$ .

Jeśli $m$ jest stopniem wielomianu $G$ , to $m\leq n$ , z wyjątkiem przypadku $n=1$ , kiedy to $m=2$ . Ponadto wielomian $H$ ma stopień nie większy niż $m-2$ . Zatem $H$ jest wielomianem stopnia niższego niż $W$ . Wobec tego na mocy założenia indukcyjnego istnieje przedstawienie postaci

$ H(x)=P(x)^2+(x-a)(b-x)\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2. $

Stąd otrzymujemy

$ \begin{split} W(x)&=G(x)+c(x-a)(b-x)=B(x)^2H(x)+ c(x-a)(b-x)= \\ & = B(x)^2\Bigl(P(x)^2+(x-a)(b-x) \sum_{i=1}^m Q_i(x)^2\Bigr)+c(x-a)(b-x)= \\ & = (B(x)P(x))^2+(x-a)(b-x)\Bigl((\;\root\of{c}\;)^2+ \sum_{i=1}^m(B(x)Q_i(x))^2\Bigr) \end{split} $

i jest to żądane przedstawienie wielomianu $W$ . Tym samym rozwiązanie zadania zostało zakończone.