XXVI - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

W pewnej rodzinie mąż i żona zawarli następującą umowę: Jeżeli któregoś dnia zmywa naczynia żona, to następnego dnia zmywa naczynia mąż. Jeżeli natomiast pewnego dnia zmywa naczynia mąż, to o tym, kto zmywa naczynia następnego dnia, decyduje losowanie za pomocą rzutu monetą. Niech $p_n$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że $n$ -tego dnia trwania umowy zmywa naczynia mąż. Dowieść, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} p_n$ i obliczyć ją. Przyjmujemy $p_1 = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $(n+1)$ -szego dnia zmywa naczynia mąż, to albo $n$ -tego dnia zmywał naczynia mąż (prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe $\displaystyle p_n \cdot \frac{1}{2}$ ), albo $n$ -tego dnia zmywała naczynia żona (prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe $1- p_{n}$ ). Mamy więc $\displaystyle p_{n+1} = \frac{1}{2} p_{n}+ (1-p_n)$ , czyli $\displaystyle<br /> p_{n+1}- \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} \left(p_{n} - \frac{2}{3} \right)$ . Inaczej mówiąc $\displaystyle p_{n} - \frac{2}{3}$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Każdy ciąg geometryczny o ilorazie $q$ , gdzie $|q| < 1$ , jest zbieżny do zera. Zatem $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( p_{n} - \frac{2}{3} \right) = 0$ , czyli $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{2}{3}$ .

Uwaga. Wartość $p_1$ nie ma wpływu na rozwiązanie.