XXVI - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Dowieść, że na to, aby liczby nieujemne $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ( $n = 1, 2, \ldots$ ) spełniały dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ nierówność

$ \left( \sum_{i=1}^n a_i x_i^2 \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i x_i^4. $

potrzeba i wystarcza, aby $\sum_{i=1}^n a_i \leq 1$ .

Rozwiązanie

Jeżeli nierówność (1) zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , to w szczególności zachodzi dla $x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 1$ . Podstawiając te wartości do (1) otrzymujemy

$ \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i. $

Stąd wobec $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \geq 0$ wynika, że $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \leq 1$ .

Dla dowodu implikacji odwrotnej wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych $u_1, u_2, \ldots, u_n$ i liczb rzeczywistych $v_1, v_2, \ldots, v_n$ zachodzi nierówność

$ \left( \sum_{i=1}^n u_iv_i \right)^2 \leq \sum_{k=1}^n u_k \cdot \sum_{i=1}^n u_i v_i^2. $

Wykonując mnożenie po obu stronach nierówności (2) otrzymujemy nierówność równoważną

$ \sum_{i=1}^n u_i^2 v_i^2 + 2 \sum_{i<j} u_iv_iu_jv_j \leq \sum_{i=1}^n u_i^2 v_i^2 + \sum_{k<i} u_ku_iv_i^2 + \sum_{k>i} u_ku_iv_i^2, $

czyli

$ (3) \qquad \sum_{i<j} u_iu_j (v_i^2 + v_j^2 - 2v_iv_j) \geq 0. $

Ponieważ $v_i^2 + v_j^2 -2v_iv_j = (v_i - v_j)^2 \geq 0$ oraz $u_iu_j \geq 0$ , więc nierówność (3) jest prawdziwa. Zatem prawdziwa jest również nierówność (2).

Podstawiając w (2) $u_i = a_i$ oraz $v_i = x_1^2$ dla $i = 1,2, \ldots, n$ otrzymujemy, że jeżeli $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \leq 1$ to zachodzi nierówność (1).