XXVI - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą ścianę tego wielościanu można pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian drugiego koloru.

Rozwiązanie

Łącząc punkt styczności kuli z dowolną ścianą ze wszystkimi wierzchołkami należącymi do tej ściany otrzymamy rozkład tej ściany na sumę trójkątów o rozłącznych wnętrzach, których jednym z wierzchołków jest punkt styczności kuli, a pozostałymi - dwa wierzchołki wielościanu należące do jednej jego krawędzi. Przy tym trójkąty $PAB$ i $QAB$ położone na różnych ścianach wielościanu, które mają wspólny bok $\overline{AB}$ będący krawędzią wielościanu, są pomalowane różnymi kolorami. Udowodnimy, że mają one równe pola.

Płaszczyzna $\pi$ przechodząca przez środek kuli i punkty styczności $P$ i $Q$ jest prostopadła do płaszczyzn zawierających rozważane trójkąty. Zatem płaszczyzna $\pi$ jest prostopadła do prostej $AB$ .

Niech prosta $AB$ przecina płaszczyznę $\pi$ w punkcie $C$ . Wtedy $CP = CQ$ , ponieważ odcinki stycznych do kuli poprowadzonych z ustalonego punktu są równe. Z określenia punktu $C$ wynika też, że $\overline{CP} \bot \overline{AB}$ i $\overline{CQ} \bot \overline{AB}$ , tzn. odcinki $\overline{CP}$ i $\overline{CQ}$ są wysokościami trójkątów $ABP$ i $ABQ$ odpowiednio. Ponieważ trójkąty te mają wspólną podstawę, więc wynika stąd, że mają one równe pola.

Wszystkie ściany wielościanu zostały przedstawione w postaci sum trójkątów. Przy tym każdemu trójkątowi pomalowanemu jednym kolorem został przyporządkowany w sposób wzajemnie jednoznaczny trójkąt o tym samym polu pomalowany drugim kolorem. Wynika stąd teza zadania.