XXVI - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

Niech $f(x)$ i $g(x)$ będą wielomianami o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że jeżeli dla każdej wartości całkowitej $n$ liczba $g(n)$ dzieli się przez liczbę $f(n)$ , to $g(x) = f(x)\cdot h(x)$ , gdzie $h(x)$ jest wielomianem,. Pokazać na przykładzie, że współczynniki wielomianu $h(x)$ nie muszą być całkowite.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu zadania przygotowawczego D serii III udowodniliśmy, że jeżeli wielomiany $f$ i $g$ mają współczynniki całkowite, $\mathrm{st} f \leq \mathrm{st} g$ oraz dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $f(n)$ jest dzielnikiem liczby $g(n)$ , to istnieje taka liczba całkowita $c$ , że $g(x) = c \cdot f(x)$ . Zatem albo $\mathrm{st} f = \mathrm{st} g$ (gdy $c \ne 0$ ), albo $g$ jest wielomianem zerowym (gdy $c = 0$ ). Wystarczy więc rozpatrzyć przypadek, gdy $\mathrm{st} g > \mathrm{st} f$ .

Niech $h$ i $r$ będą odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia wielomianu $g$ przez $f$ . Wtedy

$<br /> (1) \qquad g = hf + r \ \textrm{i} \ \mathrm{st} r < \mathrm{st} f.<br />$

Wielomiany $h$ i $r$ mają współczynniki wymierne. Niech $a$ będzie najmniejszym wspólnym mianownikiem współczynników wielomianów $h$ i $r$ . Wtedy wielomiany $H = ah$ oraz $R = ar$ mają współczynniki całkowite i mnożąc równość (1) obustronnie przez $a$ otrzymujemy

$<br /> (2) \qquad ag = Hf+R.<br />$

Wobec tego wielomian $ag$ też ma współczynniki całkowite.

Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $f(n)$ oczywiście jest dzielnikiem liczby $ag(n)$ . Zatem na mocy (2) liczba $f(n)$ jest dzielnikiem liczby $R(n) = ag(n) - H(n) \cdot f(n)$ dla $n=1,2, \ldots$ . Ponieważ $\mathrm{st} R = \mathrm{st} r < \mathrm{st} f$ , więc z początkowej uwagi w tym rozwiązaniu wynika, że $R = ar$ jest wielomianem zerowym. Wobec tego również $r$ jest wielomianem zerowym i z (1) otrzymujemy $g = hf$ .

Wykażemy na przykładzie, że współczynniki wielomianu $h$ mogą nie być całkowite. Niech $f(x) = 2$ , $g(x) = x^2 + x$ . Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $g(n) = n(n + 1)$ jest parzysta, ponieważ jedna z liczb $n$ i $n+1$ jest parzysta. Zatem liczba $f(n) = 2$ jest dzielnikiem liczby $g(n)$ dla $n = 1, 2, \ldots$ . Współczynniki wielomianu $\displaystyle h(x) = \frac{g(z)}{f(x)} = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x$ oczywiście nie są całkowite.