XXVI - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

III

Ciąg liczb rzeczywistych ${a_k}_{k=1}^{\infty}$ spełnia następujący warunek:
Istnieje liczba naturalna $n$ taka, że $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0$ i $a_{n+k} = a_k$ dla $k = 1, 2, \ldots$ .
Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna $N$ , że $\sum_{i=N}^{N+k}$ dla $k = 0$ , $1, 2, \ldots$ .

Rozwiązanie

Niech $s_j = a_1+a_2+ \ldots + a_j$ dla $j = 1, 2, \ldots$ . Z założenia wynika, że suma dowolnych $n$ kolejnych wyrazów ciągu $\{a_k\}_{k=1}^\infty$ jest
równa zeru. Wobec tego $s_{j+n} = s_j$ dla $j = 1, 2, \ldots$ . Liczba różnych wyrazów ciągu $\{s_k\}_{k=1}^\infty$ jest więc skończona. Niech $s_m$ będzie najmniejszą z liczb $s_1, s_2, \ldots$ . Wykażemy, że wystarczy przyjąć $N =m + 1$ . W istocie, dla dowolnego $k \geq 0$ mamy

$<br /> \sum_{i=m+1}^{m+1+k} a_i = \sum_{i=1}^{m+1+k} a_i - \sum_{i=1}^{m} a_i =<br /> s_{m+1+k} - s_m \geq 0.<br />$